Почему дворяне поддержали екатерину ll в намерении свергнуть петра lll?

Да дворяне Екатерину и не поддерживали... Да и не препятствовали, впрочем. Дворян как раз никто не спрашивал. 
Петра свергла гвардия. В перевороте участвовали только два гвардейских полка из трех — Семеновский и Измайловский. Преображенский полк заговор не поддержал и в свержении императора не участвовал. За это три старших командира полка С.Р.Воронцов, П.И.Измайлов и П.П.Воейков подверглись впоследствии аресту. Не секрет также, что многие из гвардейцев были подпоены, а многие были силой принуждены к участию в перевороте их офицерами. А. С. Пушкин приводит слова очевидцев, которые уже после свержения слышали, как гвардейцы сокрушались, что «предали батюшку царя за бочку пива!» 
То, что народ не любил Петра 3 - как показывает практика, это всего лишь художественный вымысел историка Ключевского - откуда тогда столько лже-Петров потом появилось (около 40), и самым известным был Емельян Пугачев? Лже-Петров 1 как-то в истории не наблюдалось. Вообще.
Важнейший документ царствования Петра Фёдоровича — «Манифест о вольности дворянства» (Манифест от 18 (29) февраля 1762 года), благодаря которому дворянство стало исключительным привилегированным сословием Российской империи. Дворянство, будучи принуждённым Петром I к обязательной и поголовной повинности служить всю жизнь государству, при Анне Иоанновне получившее право выходить в отставку после 25-летней службы, теперь получало право не служить вообще.Помимо освобождения от службы, дворяне получили право практически беспрепятственного выезда из страны. Одним из следствий Манифеста стало то, что дворяне могли теперь свободно распоряжаться своими земельными владениями вне зависимости от отношения к службе. Дворянство становилось настолько свободным, насколько может быть свободно привилегированное сословие в феодальной стране.
И за что дворянам после этого не любить Петра 3? Вот гвардия - да. Гвардия имела все "причины" свергнуть Петра. 
Петр отменил самую бесполезную часть гвардии – лейб-кампанию, обходившуюся российской казне в два миллиона рублей в год - полки, которые возвели на престол Елизавету. Кучка бездельников. Ведь гвардия никогда не участвовала в боевых действиях. НИКОГДА. А жалованье получала. Плюс ко всему Петр приказал всем, числившемся в гвардии и проживающим в своих имениях прибыть к месту службы. Следует заметить, что среди них были люди, никогда вообще не одевавшие мундира - просто числившиеся в гвардии. Ну и... каждый день заниматься строевой подготовкой и прочими воинскими учениями. И далее - отправить гвардию на войну. Вот гвардия и оскорбилась - кончилось безделье. Служить заставили. 
Так что дворяне Екатерину не поддерживали. Все сделала гвардия и группа приближенных к будущей  (увы) императрице.