Какие причины успешного освобождения земель от монгольского владычества?

Отрицательных последствий монголо-татарского нашествия на Русь пруд пруди. Остановимся на основных:
- из 74 городов, существовавших на Руси в XII - XIII вв. 49 было разрушено, 14 обезлюдило навсегда;
- утрачены многие ремесленные секреты (стеклоделие, техника перегородчатой эмали и др.) , на полвека прекратилось каменное строительство;
- резкое сокращение численности населения страны (много убитых, угнанных в рабство) . Красноречиво наблюдение папского посла Плано Карпини, который, проезжая в 1246 г. через южнорусские земли писал: "Когда мы ехали через их землю, мы находили бесчисленные головы и кости мёртвых людей, лежавшие на полях.. . церкви были наполнены телес мёртвых";
- усиление феодальной раздробленности, рост княжеских междоусобиц, которые монголы специально провоцировали, дабы не дать какому-либо князю усилиться и возродить вооружённые силы. Старым центрам, Владимиру и Галичу, в этой связи уделялось "особенное" внимание;
- значительное ослабление городского самоуправления;
- упадок земледелия, ремесла, культуры, прекратилось летописание;
- на смену феодалам - князьям и дружинникам приходят выходцы из непривилегированных слоёв (не вассалы, а холопы) - прямой путь к деспотическому правлению. Для иллюстрации: среди московских бояр XVI века нет ни одного, чьи предки были бы известны до нашествия.
А вот с "плюсами" посложнее. ну разве что:
- Золотая Орда русским князьям в борьбе с нашествием литовцев, шведов и немцев, поскольку ханы воспринимали эти нашествия как наступление на свои владения;
- защита и даже в некотором роде привилегированное положение Православной церкви и веры, как основной идеологии Руси. Монголы категорически не трогали церковь, более того, позволяли церковное строительство даже на своей земле. В любом случае, это обстоятельство стало важным залогом будущего объединения Руси;
- согласимся с Н. М. Карамзиным, что именно татаро-монгольское нашествие и иго всё-таки положило предел феодальным войнам и заставило начать поиск механизмов консолидации русской нации. Источник: Л. Кацва, А. Юрганов. История России VIII - XV вв. ; А. Н. Сахаров. История России с древнейших времён до конца XIX в. ; Н. М. Карамзин История государства Российского

Дмитрий Донской собрал достаточно сильное войско. На тот момент времени монголо татарское иго начало делиться, там просходил столкновения и междуусобицы.