Вася составляет 3-буквенные слова, в которых есть только буквы Б, А, Л, К, О, Н, причём буква Б используется в каждом слове хотя бы 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики.

В данной задаче важно понять, что каждое из трех мест в слове может быть заполнено одним из шести возможных символов (Б, А, Л, К, О, Н). Значит Вася имеет 6 возможных вариантов для первого символа, 6 возможных вариантов для второго и 6 возможных вариантов для третьего символа. Таким образом, всего возможно составить 6 * 6 * 6 = 216 различных 3-буквенных слов, используя только буквы Б, А, Л, К, О, Н без каких-либо ограничений.

Однако в данной задаче сказано, что буква Б должна использоваться хотя бы 1 раз. Давайте рассмотрим 2 случая: когда буква Б используется 1 раз и когда буква Б используется 2 раза.

1. Буква "Б" используется 1 раз:
- Так как буква Б должна использоваться хотя бы 1 раз, у нас есть 6 вариантов для ее первого места (Б, А, Л, К, О, Н).
- Для оставшихся двух букв (поскольку каждая может встретиться любое количество раз или не встретиться совсем), у нас также есть 6 вариантов для каждого места.
- Всего возможно составить 6 * 6 * 6 = 216 слов, где буква Б используется 1 раз.

2. Буква "Б" используется 2 раза:
- Так как буква Б должна использоваться хотя бы 1 раз, у нас есть 6 вариантов для первого места буквы Б.
- Оставшимся двум буквам (которые могут быть любыми из 5 оставшихся букв) у нас также есть 5 вариантов для каждого места.
- Всего возможно составить 6 * 5 * 5 = 150 слов, где буква Б используется 2 раза.

Теперь для получения общего количества слов, которые может написать Вася, нужно сложить результаты из обоих случаев: 216 + 150 = 366.

Таким образом, Вася может написать 366 различных 3-буквенных слов, в которых используются только буквы Б, А, Л, К, О, Н, а буква Б использована хотя бы 1 раз.