Случайная величина x в интервале (3,5) задана плотностью распределения f(x)=-(¾)x²+6x-45/4; вне этого интервала f(x)=0. найти моду, ожидание и медиану величины x

Это через интеграл.
Медиана делит вероятность появления события пополам.
Т.е. справа и слева от этой точки вероятнось появаления одинаковая - 50%

Интеграл от твоей функции с пределами 3 и Х равен такому же интегралу с пределами Х и 5
Решаешь - Х и есть медиана

Случайная величина x задана плотностью распределения f(x) на интервале (3, 5). Первым шагом мы можем найти моду этой величины.

Мода случайной величины - это значение, которое встречается наиболее часто. Для определения моды, нам нужно найти максимум функции плотности распределения f(x).
Для нашей плотности f(x)=-(¾)x²+6x-45/4, нам нужно найти точку, в которой производная равна нулю.

Для этого возьмем производную плотности распределения и прировняем к нулю:
f`(x) = (-3/4) * 2x + 6 = 0

Изобразим это уравнение на графике:
(2/3)x + 6 = 0
(2/3)x = -6
x = (-6) * (3/2)
x = -9

Таким образом, мода случайной величины x равна -9.

Теперь перейдем к нахождению ожидания случайной величины x.

Ожидание (или математическое ожидание) случайной величины - это среднее значение, которое мы ожидаем получить, если много раз повторить случайное событие.

В нашем случае, чтобы найти ожидание случайной величины x, нам нужно вычислить интеграл от плотности распределения f(x) по всей области значений x.

∫(3,5) [-(3/4)x² + 6x - 45/4] dx

Мы можем разделить это на три интеграла:
∫(3,5) [-(3/4)x²] dx + ∫(3,5) [6x] dx - ∫(3,5) [45/4] dx

Вычисляем интегралы:
[(3/4)*(1/3)*x³] (от 3 до 5) + [6*(1/2)*x²] (от 3 до 5) - [(45/4)*(x)] (от 3 до 5)

(1/4)*(125-27) + 6*(25-9) - (45/4)*(5-3)

(1/4)*(98) + 6*(16) - (45/4)*(2)

24.5 + 96 - 45

165.5

Таким образом, ожидание случайной величины x равно 165.5.

Осталось найти медиану случайной величины x.

Медиана случайной величины - это такое значение, что 50% вероятности случайной величины находится ниже этого значения, и 50% - выше.

Для нахождения медианы, нам нужно решить уравнение:
∫(3,x) [-(3/4)t² + 6t - 45/4] dt = 0.5

Здесь мы интегрируем по переменной t, а не по x, чтобы использовать новую переменную на случай, если медиана окажется внутри интервала (3, 5).

Разделим этот интеграл на два:
∫(3,x) [-(3/4)t²] dt + ∫(3,x) [6t] dt - ∫(3,x) [45/4] dt = 0.5

И вычислим три интеграла:
[(3/4)*(1/3)*t³] (от 3 до x) + [6*(1/2)*t²] (от 3 до x) - [(45/4)*(t)] (от 3 до x) = 0.5

(1/4)*(x³-27) + 6*(x²-9) - (45/4)*(x-3) = 0.5

(1/4)*x³ - 6 + 33*x² - 54 - (45/4)*x + 33/4 = 0.5

(1/4)*x³ + 33*x² - (45/4)*x - 233/4 = 0.5

(1/4)*x³ + 33*x² - (45/4)*x - 233/4 - 0.5 = 0

(1/4)*x³ + 33*x² - (45/4)*x - 233/4 - 2/4 = 0

(1/4)*x³ + 33*x² - (45/4)*x - 241/4 = 0

Нахождение аналитического решения для этого уравнения может быть сложно, поэтому хорошим вариантом будет использование численных методов или калькулятора для нахождения корней этого уравнения.

Таким образом, мода случайной величины равна -9, ожидание равно 165.5, и медиана может быть найдена с помощью численных методов или калькулятора находится приблизительно.