По кругу на одинаковом расстоянии друг от друга расположены 12 точек. Они подписаны числами 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 (см. рисунок). Сколько существует остроугольных треугольников с вершинами в этих точках, у которых все три вершины подписаны тремя различными числами? Треугольник называется остроугольным, если все его углы строго меньше 90 градусов.

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько этапов:

Шаг 1: Определим, сколько различных треугольников можно образовать, используя эти 12 точек исходя из условия.

В данной задаче каждый треугольник будет образован тройкой вершин, выбранных из 12 точек. Так как каждая точка подписана числом от 1 до 3, и условие требует, чтобы все три вершины были подписаны различными числами, мы можем выбрать первую вершину из трех возможных (1, 2, 3), вторую вершину из двух оставшихся чисел и третью вершину из одного оставшегося числа. Таким образом, существует 3 * 2 * 1 = 6 различных треугольников, которые мы можем образовать из этих 12 точек.

Шаг 2: Определим, сколько из этих треугольников являются остроугольными.

Для определения, является ли треугольник остроугольным или нет, необходимо учесть свойство остроугольного треугольника: сумма квадратов двух меньших сторон треугольника должна быть больше, чем квадрат самой большей стороны треугольника.

У нас есть 6 различных треугольников, поэтому нам нужно проверить каждый из них на соответствие условию остроугольности.

1) Треугольник с вершинами 1-2-3:
Сумма квадратов 1 и 2 равна 1 + 4 = 5, что больше 9 (квадрат 3). Условие выполняется.

2) Треугольник с вершинами 2-3-1:
Сумма квадратов 2 и 3 равна 4 + 9 = 13, что больше 1 (квадрат 1). Условие выполняется.

3) Треугольник с вершинами 3-1-2:
Сумма квадратов 3 и 1 равна 9 + 1 = 10, что больше 4 (квадрат 2). Условие выполняется.

4) Треугольник с вершинами 1-3-2:
Сумма квадратов 1 и 3 равна 1 + 9 = 10, что больше 4 (квадрат 2). Условие выполняется.

5) Треугольник с вершинами 2-1-3:
Сумма квадратов 2 и 1 равна 4 + 1 = 5, что больше 9 (квадрат 3). Условие выполняется.

6) Треугольник с вершинами 3-2-1:
Сумма квадратов 3 и 2 равна 9 + 4 = 13, что больше 1 (квадрат 1). Условие выполняется.

Итак, все 6 треугольников остроугольные.

Таким образом, ответ на задачу составляет 6 остроугольных треугольников, у которых все три вершины подписаны тремя различными числами.