Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

((x & 46 = 0) ∨ (x & 18 = 0)) → ((x & 115 ≠ 0) → (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

у меня получилось 179.

Для решения этой задачи нужно проанализировать выражение и поочередно проверить все возможные значения переменной x.

Давайте разберемся, как преобразовать выражение и упростить его.

В начале у нас есть условие: ((x & 46 = 0) ∨ (x & 18 = 0)).

Здесь используется оператор "и" (&), который возвращает 1, если в двоичном представлении чисел x и 46 (или x и 18) есть хотя бы одна единица в позиции соответствующей разряду, иначе возвращает 0.

Итак, чтобы условие ((x & 46 = 0) ∨ (x & 18 = 0)) было истинным, нужно, чтобы в числе x и числе 46 (или x и 18) не совпадало ни одно разрядное значение.

Переходим к следующей части выражения: (x & 115 ≠ 0).

Здесь мы также используем оператор "и" (&), но проверяем, чтобы в числе x и числе 115 была хотя бы одна единица в позиции соответствующей разряду.

Чтобы условие (x & 115 ≠ 0) было истинным, достаточно, чтобы в числе x и числе 115 была хотя бы одна единица в позиции соответствующей разряду.

И конечная часть выражения: (x & A = 0).

Мы также используем оператор "и" (&), но на этот раз условие (x & A = 0) должно быть истинным, когда в числе x и в числе A нет ни одной единицы в позиции соответствующей разряду.

Теперь, чтобы решить задачу, нужно найти наибольшее натуральное число A, при котором выражение будет всегда истинным.

Рассмотрим двоичное представление всех участвующих в выражении чисел: 46, 115 и A.

46 = 101110
115 = 1110011

Мы выделяем разряды, которые нам интересуют, и из них составляем число A так, чтобы во всех этих разрядах были нули.

Посмотрим на двоичные представления чисел 46 и 115. Замечаем, что разряд с индексом 3 есть в обоих числах (отсчитываем справа налево, начиная с 0). Это означает, что в числе A в третьем разряде должен быть ноль.

Проведя такую же операцию со всеми остальными разрядами, получаем число A:

A = 1000000

Теперь проверим, что при любом натуральном значении переменной x выражение будет тождественно истинным.

Если x = 0, то все выражение истинно, потому что 0 в операциях "и" (&) с любым числом будет давать 0.

Если x > 0 (допустим, x = 1), то условия выражения выполняются следующим образом:

1 & 46 = 00000001 & 00101110 = 00000000, результат = 0
1 & 18 = 00000001 & 00010010 = 00000000, результат = 0
1 & 115 = 00000001 & 01110011 = 00000001, результат ≠ 0
1 & A = 00000001 & 10000000 = 00000000, результат = 0

Видим, что все условия заведомо истинны, поэтому выражение верно при значениях x > 0.

Таким образом, наибольшее натуральное число A, при котором выражение будет тождественно истинно, равно 128.

Ответ: A = 128.