Опеределите количество единиц нулей и двоек в троичной записи результата выражения:
3^250+3^200-3^50

Троичная система. Посчитать двойки тройки и нули

"0" - 100

"1" - 1

"2" - 150

В задаче имеется "топорное решение" — посчитать напрямую. Получившееся число будет восьмизначным, что не так уж и страшно, если в голову не приходят другие решения.

Рассмотрим, однако, решение, которое позволит делать подобные задачи без прямого подсчёта. Для этого, прежде всего, переведём всё в степени тройки:

98328316+35+35+35−9−32−32==
9
8
+
3
5
−9 =
3
2
8
+
3
5
−
3
2
=
3
16
+
3
5
−
3
2

Как представляется число 3n в троичной системе счисления? Давайте подумаем, как мы переводим из десятичной системы в троичную? Сначала делим на 3, затем частное делим на 3, затем новое частное на 3 и т.п. Что получится в случае деления 3n на 3? Очевидно, что 3n-1. А если его поделить дальше на 3, то получится 3n-2. Если так сделать n раз, то в конце останется 30, то есть. Таким образом, это будет число 100..00, где количество нулей равно n.

То есть, например, 8-ая степени тройки в троичной системе представима в виде 1000000003. А 35 — это 1000003.

Вернёмся теперь к нашей сумме. Давайте сначала в столбик сложим 316 и 35 в троичной системе счисления.

100…000000016100000100…0⏟10100000 1
00
…
0000000
⏞
16
100000 1
00
…
0
⏟
10
100000

Теперь остаётся из этого вычесть 32. Для этого придётся "занять" разряд. Но принцип тут такой же, как и в обычной, десятичной системе счисления, только 0 будут превращаться не в 9, а в 2 (самую большую цифру в троичной системе счисления:

100…0⏞10100000−100100…0⏟10022200 1
00
…
0
⏞
10
100000 −100 1
00
…
0
⏟
10
022200

Таким образом, количество двоек в указанной сумме получилось равным 3.

ответ: 3 двойки в троичной записи.