ЕГЭ, 8 задание (А. Куканова) Аня составляет 6-значные числа в 10-ичной системе счисления. Цифры в числе не должны повторяться, и никакие две четные или две нечетные цифры не должны стоять рядом. Сколько чисел может составить Аня?

Добрый день! Давайте разберемся с данной задачей.

В условии задачи сказано, что Аня составляет 6-значные числа в 10-ичной системе счисления. Значит каждое число будет состоять из шести цифр.

Также условие говорит, что цифры в числе не должны повторяться. Это означает, что в каждом числе должны присутствовать все шесть различных цифр от 0 до 9.

Однако, условие задачи ставит еще одно ограничение - никакие две четные или две нечетные цифры не должны стоять рядом. Иначе говоря, в каждом числе не должно быть двух четных или двух нечетных цифр, стоящих рядом друг с другом.

Пойдем по шагам:

1. Определим все возможные варианты размещения 6 различных цифр от 0 до 9. Это можно сделать с помощью комбинаторики. В данном случае мы ищем количество размещений, поэтому нам подходит формула для размещений без повторений: A(n, k) = n! / (n-k)!, где n - количество возможных элементов для выбора (различные цифры), k - количество элементов в выборке (6).

A(10, 6) = 10! / (10-6)! = 10! / 4! = (10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (4*3*2*1) = 10*9*8*7*6*5

Таким образом, у нас есть 151 200 возможных способов составления шестицифровых чисел из различных цифр.

2. Теперь нужно исключить те варианты, в которых две четные или две нечетные цифры стоят рядом друг с другом.

Рассмотрим случай, когда две четные цифры стоят рядом. Есть два варианта, как могут расположиться эти две цифры:
- либо они могут стоять на первых двух позициях (комбинации вида "ЧЧ _ _ _ _ "),
- либо они могут стоять на последних двух позициях (комбинации вида "_ _ _ _ ЧЧ").

Рассмотрим каждый вариант подробнее:

- Они могут стоять на первых двух позициях:
Чтобы определить, сколько таких комбинаций возможно, мы должны подсчитать количество вариантов выбора двух четных цифр из пяти четных цифр, а затем умножить его на количество комбинаций для трех оставшихся нечетных цифр.
Таким образом, у нас есть С(5, 2) * P(3), где C(n, k) - количество сочетаний, P(n) - количество перестановок.
C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5*4*3!) / (2! * 3!) = (5*4) / 2 = 10
P(3) = 3! = 3*2*1 = 6
С(5,2) * P(3) = 10 * 6 = 60

- Они могут стоять на последних двух позициях:
Аналогично, чтобы определить количество таких комбинаций, мы должны подсчитать количество вариантов выбора двух четных цифр из пяти четных цифр, а затем умножить его на количество комбинаций для трех оставшихся нечетных цифр.
Это также дает нам 60 вариантов.

Итак, общее количество вариантов с двумя четными цифрами, стоящими рядом, равно 60 + 60 = 120.

3. Теперь нужно рассмотреть случай, когда две нечетные цифры стоят рядом. Примерно аналогично предыдущему шагу, нужно рассмотреть два случая:
- нечетные цифры стоят на первых двух позициях (комбинации вида "НН _ _ _ _ "),
- нечетные цифры стоят на последних двух позициях (комбинации вида "_ _ _ _ НН").

Для каждого случая нужно определить число возможных комбинаций и затем сложить полученные результаты.

Проведя аналогичные расчеты, получим, что количество комбинаций с двумя нечетными цифрами, стоящими рядом, равно 120.

4. Теперь мы можем определить общее количество чисел, которое может составить Аня. Для этого нужно вычесть из общего количества возможных способов составления чисел (151 200) количество недопустимых комбинаций (120 + 120 = 240).

151 200 - 240 = 150 960

Таким образом, Аня может составить 150 960 различных 6-значных чисел в 10-ичной системе счисления, при условии, что в числе каждая цифра уникальна и никакие две четные или две нечетные цифры не стоят рядом.