1. Найдите энтропию для числа белых шаров при извлечении двух шаров из урны, содержащей два белых и один черный шар. 2. Найдите энтропию для числа козырных карт при извлечении двух карт из колоды в 36 карт.

3. Какую степень неопределенности содержит опыт угадывания суммы очков на извлеченной кости из полного набора домино?

4. Найдите энтропию для числа тузов при извлечении трех карт из карт с картинками.

5. Найдите дифференциальную энтропию для равномерного распределения.

6. Найдите дифференциальную энтропию для показательного закона распределения, если известно, что случайная величина х принимает значение меньше единицы с вероятностью 0,5.

1. Чтобы найти энтропию для числа белых шаров при извлечении двух шаров, мы можем использовать формулу энтропии Шеннона:

H(X) = - Σ p(x) * log2 p(x),

где H(X) - энтропия случайной величины X, p(x) - вероятность наступления события x.

В данном случае у нас есть три возможных события:

A - извлечение двух белых шаров,
B - извлечение одного белого и одного черного шара,
C - извлечение двух черных шаров.

Заметим, что сумма вероятностей всех событий равна 1:

p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Так как у нас два белых и один черный шар, вероятность каждого события будет:

p(A) = (2/3) * (1/2) = 1/3,
p(B) = (2/3) * (1/2) = 1/3,
p(C) = (1/3) * (0/2) = 0.

Теперь мы можем вычислить энтропию H(X) для числа белых шаров:

H(X) = - [p(A) * log2 p(A) + p(B) * log2 p(B) + p(C) * log2 p(C)]
= - [(1/3) * log2 (1/3) + (1/3) * log2 (1/3) + 0 * log2 0]
= - [2 * (1/3) * log2 (1/3)]
= - (2/3) * log2 (1/3)
≈ 0.918 bits.

Таким образом, энтропия для числа белых шаров при извлечении двух шаров из урны составляет примерно 0.918 bits.

2. Чтобы найти энтропию для числа козырных карт при извлечении двух карт из колоды с 36 картами, мы можем использовать ту же формулу энтропии:

H(X) = - Σ p(x) * log2 p(x).

В данном случае у нас есть возможность выбрать две карты из 36. В колоде содержится 8 козырных карт (бубны 6, бубны 7, ..., бубны туз), поэтому общее число возможностей будет:

C(36, 2) = 36! / (2! * (36-2)!) = 36! / (2! * 34!) = (36 * 35) / 2 = 630.

Теперь давайте рассмотрим возможные события:

A - извлечение двух козырных карт,
B - извлечение одной козырной и одной некозырной карты,
C - извлечение двух некозырных карт.

Заметим, что сумма вероятностей всех событий равна 1:

p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Так как из 36 карт 8 козырных, вероятность каждого события будет:

p(A) = (8/36) * (7/35) = 2/15,
p(B) = (8/36) * (28/35) = 8/15,
p(C) = (28/36) * (27/35) = 14/15.

Теперь мы можем вычислить энтропию H(X) для числа козырных карт:

H(X) = - [p(A) * log2 p(A) + p(B) * log2 p(B) + p(C) * log2 p(C)]
= - [(2/15) * log2 (2/15) + (8/15) * log2 (8/15) + (14/15) * log2 (14/15)].

Вычислить точное значение этой энтропии можно, используя калькулятор или компьютер.

3. Степень неопределенности (энтропия) содержит опыт угадывания суммы очков на извлеченной кости из полного набора домино.

В полном наборе домино каждая кость содержит две половинки, на каждой из которых может быть от 0 до 6 очков. Таким образом, всего возможных комбинаций сумм очков будет 28 (0+0, 0+1, ..., 6+6).

Теперь давайте рассмотрим вероятности каждой комбинации суммы очков:

p(0) = 1/28,
p(1) = 2/28,
p(2) = 3/28,
p(3) = 4/28,
p(4) = 5/28,
p(5) = 4/28,
p(6) = 3/28,
p(7) = 2/28,
p(8) = 1/28.

Теперь мы можем вычислить энтропию H(X) для суммы очков на извлеченной кости:

H(X) = - [p(0) * log2 p(0) + p(1) * log2 p(1) + ... + p(8) * log2 p(8)].

Вычислить точное значение этой энтропии можно, используя калькулятор или компьютер.

4. Чтобы найти энтропию для числа тузов при извлечении трех карт из колоды с картинками (всего 52 карты, из которых 4 туза), мы можем использовать формулу энтропии:

H(X) = - Σ p(x) * log2 p(x).

В данном случае у нас есть возможность выбрать три карты из 52. В колоде содержится 4 туза, поэтому общее число возможностей будет:

C(52, 3) = 52! / (3! * (52-3)!) = 52! / (3! * 49!) = (52 * 51 * 50) / (3 * 2 * 1) = 22100.

Теперь давайте рассмотрим возможные события:

A - извлечение трех тузов,
B - извлечение двух тузов и одной некоролевской карты,
C - извлечение одного туза и двух некоролевских карт,
D - извлечение трех некоролевских карт.

Заметим, что сумма вероятностей всех событий равна 1:

p(A) + p(B) + p(C) + p(D) = 1.

Так как из 52 карт 4 туза, вероятность каждого события будет:

p(A) = (4/52) * (3/51) * (2/50) = 1/1650,
p(B) = (4/52) * (3/51) * (48/50) = 16/1650,
p(C) = (4/52) * (48/51) * (47/50) = 188/1650,
p(D) = (48/52) * (47/51) * (46/50) = 564/1650.

Теперь мы можем вычислить энтропию H(X) для числа тузов:

H(X) = - [p(A) * log2 p(A) + p(B) * log2 p(B) + p(C) * log2 p(C) + p(D) * log2 p(D)].

Вычислить точное значение этой энтропии можно, используя калькулятор или компьютер.

5. Дифференциальная энтропия H(X) для равномерного распределения можно найти, используя формулу:

H(X) = - Σ p(x) * log2 p(x),

где p(x) является постоянной вероятностью для каждого значения x (равной 1/N, где N - число возможных значений случайной величины X).

Для равномерного распределения разные значения случайной величины имеют одинаковую вероятность. Таким образом, пусть N - общее число возможных значений случайной величины X.

Тогда мы можем записать вероятность каждого значения x как p(x) = 1/N.

Теперь мы можем вычислить дифференциальную энтропию для равномерного распределения:

H(X) = - [p(x1) * log2 p(x1) + p(x2) * log2 p(x2) + ... + p(xN) * log2 p(xN)]
= - [1/N * log2 (1/N) + 1/N * log2 (1/N) + ... + 1/N * log2 (1/N)]
= - (1/N) * [log2 (1/N) + log2 (1/N) + ... + log2 (1/N)]
= - (1/N) * N * log2 (1/N).

Заметим, что log2(1/N) = -log2(N). Тогда:

H(X) = N * (1/N) * log2 (N)
= log2 (N).

Таким образом, дифференциальная энтропия для равномерного распределения равна log2 (N), где N - число возможных значений случайной величины X.

6. Для показательного закона распределения, если известно, что случайная величина X принимает значение меньше единицы с вероятностью 0,5, мы можем найти дифференциальную энтропию, используя формулу:

H(X) = - ∫ f(x) * log2 f(x) dx,

где f(x) - плотность вероятности случайной величины X.

Для показательного закона распределения с плотностью вероятности f(x) = λ * e^(-λx) (где λ - параметр), мы можем использовать эту формулу для нахождения дифференциальной энтропии.

Поскольку известно, что случайная величина X принимает значение меньше единицы с вероятностью 0,5, мы можем использовать это свойство для определения параметра λ.

Интеграл для нахождения дифференциальной энтропии будет:

H(X) = - ∫ (λ * e^(-λx)) * log2 (λ * e^(-λx)) dx.

Вычислить точное значение этой дифференциальной энтропии можно, используя калькулятор или компьютер и интегрирование методом численного интегрирования или символьного интегрирования.

Данное объяснение содержит математические формулы и вычисления, требующие более продвинутых математических навыков. Хорошим подходом для понимания этих концепций и формул будет обратиться к учителю или преподавателю математики для дополнительного объяснения и помощи в вычислениях.