знайдіть тенгенс кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо высота проведена до бічної стороны менша

Question

Геометрия: знайдіть тенгенс кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо высота проведена до бічної стороны менша за цю сторону в 3 рази

Mokikoo · Answer

Найдите тангенс угла при вершине равнобедренного треугольника, если высота проведенная к боковой стороны меньше боковой стороны в 3 раза

Решение

Пусть СН⊥АВ,ВК⊥АС в ΔАВС, АВ=ВС.

Обозначим СН=х, тогда АВ=3х. Площадь треугольника S=1/*a*h ⇒S(ABC)=1/2*3x*x=(3x²)/2

Т.к треугольник равнобедренный , то ВС=3х и площадь треугольника можно посчитать так S=1/2*a*b*sin(a,b). Тогда S=1/2*3x*3x*sin∠B или

$\frac{3x^{2} }{2} =\frac{1}{2} *3x*3x*sinB\\sinB=\frac{1}{3}$

По основному тригонометрическому тождеству sin²B+cos²B=1 , получаем cos²B=8/9 ⇒ $cosB=\frac{2\sqrt{2} }{3}$ или $cosB=-\frac{2\sqrt{2} }{3}$

Тогда tgB

1) $tgB=\frac{sinB}{cosB} =\frac{1}{3} :\frac{2\sqrt{2} }{3} =\frac{1}{2\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{4}$

2) $tgB=\frac{sinB}{cosB} =\frac{1}{3} :\frac{-2\sqrt{2} }{3} =\frac{1}{-2\sqrt{2} } =-\frac{\sqrt{2} }{4}$

знайдіть тенгенс кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо высота проведена до бічної стороны менша за цю сторону в 3 рази