Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки M0(7,2,9) и M1(7,3,10) параллельно вектору e¯¯¯={1,−6,−4}
Уравнение плоскости запишите в виде Ax+By+z+D=0.
В ответ через точку с запятой введите значения:
A;B;D

Дан параллельный вектор e¯¯¯={1,−6,−4}.

Для уравнения плоскости нужен нормальный (то есть перпендикулярный) вектор.

Их произведение (скалярное) равно нулю.

Примем одну координату за 0 - по оси Oz.

Получим нормальный вектор (6; 1; 0)

В уравнение плоскости подставим координаты точки М0:

6*(x - 7) + 1*(y - 2) + 0*(z - 9) = 0.

6x - 42 + y - 2  = 0, получаем уравнение:

6x + y - 42 = 0.

Делаем проверку - подставляем координаты точки M1(7,3,10).

6*7 + 3 - 42 = 3. Не проходит плоскость через эту точку.

Тогда нормальный вектор находим как векторное произведение векторов М0М1 и e¯¯¯={1,−6,−4}.

Вектор М0М1 = M1(7,3,10) - M0(7,2,9) = (0; 1; 1)

i      j      k|     i     j

0    1      1|     0    1

1    -6   -4|    1      -6  = -4i + 1j + 0k -0j + 6i - 1k = 2i + 1j - 1k.

Получаем координаты нормального вектора (2; 1; -1) и точку M0(7,2,9).

Уравнение плоскости: 2(x - 7) + 1(y - 2) - 1(z - 9) = 0.

2x - 14 + y - 2 - z + 9 = 0.

2x  + y  - z - 7 = 0.

Проверяем М0: 2*7 + 1*2 - 1*9 - 7 = 14 + 2 - 9 - 7 = 0,

          M1(7,3,10): 2*7 + 1*3 -1*10 - 7 = 14 + 3 - 10 - 7 = 0.

Верно.

ответ: уравнение плоскости 2x  + y  - z - 7 = 0.                  

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки M0(7,2,9) и M1(7,3,10) параллельно вектору e¯¯¯={1,−6,−4}, воспользуемся формулой для уравнения плоскости в виде Ax+By+z+D=0.

Шаг 1: Найдем вектор, направленный из точки M0(7,2,9) в точку M1(7,3,10), используя координаты этих двух точек. Для этого вычитаем координаты M0 из координат M1:

M1 - M0 = (7,3,10) - (7,2,9) = (0,1,1)

Таким образом, у нас есть вектор v¯¯¯¯=(0,1,1), который лежит в плоскости, параллельной вектору e¯¯¯.

Шаг 2: Так как вектор v ¯ ¯ ¯ ≠ 0 , мы можем использовать его как "нормальный вектор" плоскости. Нормализуем этот вектор (приведем его к длине 1), поделив все его координаты на его длину:

||v ¯ ¯ ¯ || = √((0)^2+(1)^2+(1)^2) = √(0+1+1) = √2

v ¯ ¯ ¯ нормализованный = (0/√2, 1/√2, 1/√2) = (0, 1/√2, 1/√2)

Таким образом, у нас есть нормализованный вектор нормали плоскости.

Шаг 3: Запишем уравнение плоскости используя точку M0(7,2,9) и нормализованный вектор нормали. Заменим в формуле уравнения коэффициенты A, B и C на соответствующие значения:

0(x - 7) + (1/√2)(y - 2) + (1/√2)(z - 9) = 0

Упростим это уравнение:

(y - 2)/√2 + (z - 9)/√2 = 0

(y - 2 + z - 9)/√2 = 0

(y + z - 11)/√2 = 0

√2(y + z - 11) = 0

Умножим оба части уравнения на √2, чтобы избавиться от знаменателя:

√2y + √2z - √2(11) = 0

Таким образом, мы получаем окончательное уравнение плоскости:

√2y + √2z - √22 = 0

Окончательные значения коэффициентов A, B и D для этого уравнения:

A = 0, B = √2, D = -√22 (или A: 0; B: √2; D: -√22)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки M0(7,2,9) и M1(7,3,10) параллельно вектору e¯¯¯={1,−6,−4}, можно записать в виде:

0x + √2y + √2z - √22 = 0