Задание 1 Найти линейную комбинацию векторов
AB − 3BC + 4CD
2 Найти длины векторов
AB; BC; CD
3 Найти косинусы углов между векторами
AB и BC; BC и CD
4 Найти Найти
(AB + CD) AD
5 Найти
Пр (BD AC) AB +
6 Выяснить, коллинеарны ли векторы
AB
и
CD
7 Выяснить, ортогональны ли векторы
AB
и
CD
Исходные данные:
Даны точки
A (1; 0; 1); B (7; 4; 3); C (3; -5; 1); D (-2; 2; 2)

Здравствуйте! Давайте рассмотрим каждое задание по порядку.

Задание 1: Найти линейную комбинацию векторов AB - 3BC + 4CD.
Для этого сначала найдем каждый из векторов.
AB = B - A = (7, 4, 3) - (1, 0, 1) = (6, 4, 2)
BC = C - B = (3, -5, 1) - (7, 4, 3) = (-4, -9, -2)
CD = D - C = (-2, 2, 2) - (3, -5, 1) = (-5, 7, 1)

Затем умножим каждый вектор на соответствующий коэффициент и сложим результаты:
AB - 3BC + 4CD = 6(1, 0, 1) - 3(-4, -9, -2) + 4(-5, 7, 1) = (6, 0, 6) + (12, 27, 6) + (-20, 28, 4) = (-2, 55, 16)

Ответ: линейная комбинация векторов AB - 3BC + 4CD равна (-2, 55, 16).

Задание 2: Найти длины векторов AB, BC и CD.
Для вычисления длины вектора используется формула: длина = √(x^2 + y^2 + z^2), где x, y, z - координаты вектора.

AB = √((6)^2 + (4)^2 + (2)^2) = √(36 + 16 + 4) = √56 ≈ 7.48
BC = √((-4)^2 + (-9)^2 + (-2)^2) = √(16 + 81 + 4) = √101 ≈ 10.05
CD = √((-5)^2 + (7)^2 + (1)^2) = √(25 + 49 + 1) = √75 ≈ 8.66

Ответ: длины векторов AB, BC и CD приближенно равны 7.48, 10.05 и 8.66 соответственно.

Задание 3: Найти косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD.
Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|), где AB · BC - скалярное произведение векторов AB и BC.

AB · BC = (6, 4, 2) · (-4, -9, -2) = 6(-4) + 4(-9) + 2(-2) = -24 - 36 - 4 = -64
|AB| = √(6^2 + 4^2 + 2^2) = √56 ≈ 7.48
|BC| = √((-4)^2 + (-9)^2 + (-2)^2) = √101 ≈ 10.05

cos(θ)_AB_BC = (-64) / (7.48 * 10.05) ≈ -0.853

BC · CD = (-4, -9, -2) · (-5, 7, 1) = -4(-5) + (-9)7 + (-2)1 = 20 - 63 - 2 = -45
|BC| = √101 ≈ 10.05
|CD| = √((-5)^2 + 7^2 + 1^2) = √75 ≈ 8.66

cos(θ)_BC_CD = (-45) / (10.05 * 8.66) ≈ -0.521

Ответ: косинус угла между векторами AB и BC приближенно равен -0.853, а косинус угла между векторами BC и CD приближенно равен -0.521.

Задание 4: Найти (AB + CD) · AD.
Сначала найдем вектор AB + CD:
AB + CD = (6, 4, 2) + (-5, 7, 1) = (6 - 5, 4 + 7, 2 + 1) = (1, 11, 3)

Затем найдем скалярное произведение вектора AB + CD и вектора AD:
(AB + CD) · AD = (1, 11, 3) · (-2, 2, 2) = 1(-2) + 11(2) + 3(2) = -2 + 22 + 6 = 26

Ответ: (AB + CD) · AD равно 26.

Задание 5: Найти Пр (BD AC) AB.
Сначала найдем векторное произведение BD и AC:
BD × AC = (7, 4, 3) × (1, 0, 1)
Рассчитаем координаты вектора BD × AC используя формулу:
(x, y, z) = (4*1 - 0*3, 3*1 - 7*1, 7*0 - 4*1) = (4, -4, -4)

Затем найдем скалярное произведение вектора (4, -4, -4) и вектора AB:
(4, -4, -4) · (6, 4, 2) = 4(6) + (-4)(4) + (-4)(2) = 24 - 16 - 8 = 0

Ответ: Пр (BD AC) AB равно 0.

Задание 6: Выяснить, коллинеарны ли векторы AB и CD.
Для того, чтобы векторы AB и CD были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны.
Проверим это, сравнивая соотношения координат векторов:
AB: 6/(-2) = 4/2 = 2/2 = 3/2
CD: -5/(-2) = 7/2 = 1/2

Ответ: векторы AB и CD не являются коллинеарными.

Задание 7: Выяснить, ортогональны ли векторы AB и CD.
Для того, чтобы векторы AB и CD были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно 0.
Проверим это, вычислив скалярное произведение векторов:
AB · CD = (6, 4, 2) · (-5, 7, 1) = 6(-5) + 4(7) + 2(1) = -30 + 28 + 2 = 0

Ответ: векторы AB и CD являются ортогональными.