Задача 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Какой плоскости принадлежит отрезок BB1 и точка
D1?
Задача 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите прямую пересечения плоскостей BB1 D1
и АВС.
Задача 3. Из одной точки исходят три луча, не лежащие в одной
плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти лучи, беря их
попарно? ответ объясните.
Задача 4. Докажите, что вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, если
его диагонали пересекаются.

Задача 1:

Отрезок BB1 лежит на плоскости A1B1C1D1, так как принадлежит ребру B1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Точка D1 также принадлежит этой же плоскости, так как она является вершиной куба ABCDA1B1C1D1.

Задача 2:

Прямая пересечения плоскостей BB1D1 и АВС будет линия, которая будет проходить через отрезок BD1 и соединять вершины А и С на плоскости ABCDA1B1C1D1. Эта прямая будет находиться в той же плоскости, что и плоскость АВС.

Задача 3:

Из одной точки, исходит три луча, не лежащие в одной плоскости. Плоскости, проходящие через эти лучи попарно, будут всего три. Например, плоскости, проходящие через лучи AD и AB, AC и AB, а также AC и AD. Это связано с тем, что две плоскости могут пересечься только по прямой, и в данном случае не существует плоскости, проходящей через все три луча одновременно.

Задача 4:

Чтобы доказать, что вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, если его диагонали пересекаются, можно воспользоваться свойством параллелограмма. Если диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O и их середины отрезков AC и BD совпадают в точке M, то можно доказать, что все вершины лежат в одной плоскости.

1. Рассмотрим треугольник АBM. Он представляет собой параллелограмм, так как его стороны AB и BM равны и параллельны, и его углы AMB и BMA равны.
2. Аналогично, рассмотрим треугольник BDM. Он также является параллелограммом, так как его стороны BD и DM равны и параллельны, и его углы BMD и MBD равны.
3. Из свойства параллелограмма следует, что угол BMA равен углу BMD, так как они являются соответственными углами параллельных сторон.
4. Также, угол BMA равен углу DAO, так как это вертикальные углы.
5. Значит, угол BMD также равен углу DAO.
6. Из этого следует, что треугольники BDM и DAO равны по двум углам и общей стороне BD.
7. По свойству равных треугольников, стороны DM и AO равны, а значит, точки C и O также лежат на одной прямой.
8. Таким образом, вершины четырехугольника ABCD (то есть точки A, B, C и D) лежат в одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, если его диагонали пересекаются.