З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 2 : 3,
а довжини їх проекцій на цю пряму дорівнюють 2 см та 7 см. Знайдіть
довжини цих похилих.

Для решения этого вопроса нам понадобятся некоторые знания геометрии и пропорций. Давайте разберемся пошагово:

1. Пусть длина первой похилой будет 2x см, а длина второй похилой будет 3x см. Так мы учитываем отношение длин, которое дано в условии.

2. Мы знаем, что проекции этих похилых на прямую равны 2 см и 7 см. Это означает, что в треугольнике, образованном этими проекциями, длины горизонтальных сторон треугольника будут 2 см и 7 см соответственно.

3. С помощью теоремы Пифагора мы можем найти вертикальные стороны треугольника. Пусть длина первой вертикальной стороны будет a см, а длина второй вертикальной стороны будет b см. Тогда для первого треугольника мы можем записать уравнение: a^2 + 2^2 = (2x)^2, а для второго треугольника: b^2 + 7^2 = (3x)^2.

4. Решим эти уравнения. Возведем обе части первого уравнения в квадрат и получим a^2 + 4 = 4x^2. Аналогично, возведем обе части второго уравнения в квадрат и получим b^2 + 49 = 9x^2.

5. Теперь мы имеем систему уравнений: a^2 + 4 = 4x^2 и b^2 + 49 = 9x^2. Приведем эту систему уравнений к одной переменной. Для этого выразим a^2 и b^2 через x^2: a^2 = 4x^2 - 4 и b^2 = 9x^2 - 49.

6. Поскольку отношение длин похилых 2 : 3, соответствующее отношение их вертикальных сторон должно быть таким же. Мы можем записать пропорцию: a^2 : b^2 = 2^2 : 7^2. Подставим значения a^2 и b^2 и упростим: (4x^2 - 4) : (9x^2 - 49) = 4 : 49.

7. Решим эту пропорцию. Умножим обе стороны на (9x^2 - 49) и получим: 4(9x^2 - 49) = 49(4x^2 - 4). Раскроем скобки: 36x^2 - 196 = 196x^2 - 196. Перенесем все члены на одну сторону и получим: 160x^2 = 0. Разделим обе части на 160 и получим: x^2 = 0.

8. Как видим, получилось x^2 = 0. Но такого значения x не существует, так как квадрат любого числа всегда положителен. Это означает, что решений для этой системы уравнений нет.

Таким образом, мы пришли к выводу, что нет решения для задачи, и мы не можем найти длины этих похилых.