Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна 6 см и делит гипотенузу на отдельные

Question

Геометрия: Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна 6 см и делит гипотенузу на отдельные отрезки, один из которых больше другого на 5 см, найдите стороны

antonshv313p012l5 · Answer

Назовем треугольник как ΔАВС, а высоту как АС (∠А=90°).
Обозначим СК как х, а КВ то гда как х+5.
Есть теорема, о том, что высота равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, иначе:
АК= $\sqrt{CK * KB}$
6= $\sqrt{ x^{2} +5x}$
Чтоб его решить, возведем обе части в квадрат(вообще, надо учитывать, при каких х²+5х больше нуля, но пока это неважно):
36=х²+5х
х²+5х-36
D=25+144=169 - два корня
$x_{1,2}= \frac{-5+/-13}{2}$
х₁=4 х₂=-9 - не подходит по усл.
⇒СК=4, а КВ=4+5=9.
Тогда СВ=13
Найдем остальные стороны по теореме Пифагора, так как ΔКАВ и ΔСАК - прямоугольные(по опр. высоты):
АВ²=АК²+КВ²
АВ²=36+81
АВ=√117
СА²=СК²+АК²
СА²=16+36
СА=√52
СА=2√13
ответ: 2√13, √117, 13

Популярные вопросы