Высота правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а радиус описанного шара 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы

Добрый день! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Дано:
- Высота правильной четырёхугольной призмы: 8 см.
- Радиус описанного шара: 12 см.

2. Что нам известно о правильной четырёхугольной призме?
- Правильная четырёхугольная призма - это призма, у которой основание является правильным четырёхугольником (все стороны и углы равны).
- У правильной четырёхугольной призмы боковая поверхность состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников.

3. Как нам найти площадь боковой поверхности призмы?
- Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно найти площадь одного прямоугольного треугольника и умножить её на число боковых поверхностей призмы.

4. Как найти площадь одного прямоугольного треугольника?
- Мы знаем, что основание треугольника это периметр основания призмы, а высота треугольника равна высоте призмы.
- Далее, обратимся к свойствам прямоугольного треугольника: катеты (с одной стороны) треугольника равны половине периметра основания призмы, а гипотенуза (граничащая с высотой призмы) равна радиусу описанного шара.

5. Решение:
- Периметр основания призмы равен сумме длин всех сторон основания. Поскольку основание правильного четырёхугольника, все стороны равны. Если обозначить длину одной стороны как "а", периметр можно выразить как "4а".
- Применим свойство прямоугольного треугольника для нахождения катета: катет равен половине периметра основания призмы, то есть "2а".
- Также, применим свойство прямоугольного треугольника для нахождения гипотенузы: гипотенуза равна радиусу описанного шара, то есть 12 см.
- Применяем теорему Пифагора для нахождения второго катета: катет^2 + катет^2 = гипотенуза^2. Здесь, вместо гипотенузы подставляем "12", а вместо одного катета подставляем "2а". Решив эту квадратную уравнение, получим значение одного катета.
- Для нахождения высоты призмы, используем известное значение высоты описанного шара, которая равна 8 см.

6. Вычисляем площадь одного прямоугольного треугольника:
- Помним, что площадь прямоугольного треугольника определяется как половина произведения катетов, то есть (катет * катет) / 2.
- Получаем значение площади одного прямоугольного треугольника.

7. Вычисляем площадь боковой поверхности призмы:
- Помним, что площадь боковой поверхности призмы это площадь одного прямоугольного треугольника, умноженная на число боковых поверхностей призмы (4).
- Получаем значение площади боковой поверхности призмы.

Таким образом, мы найдём площадь боковой поверхности призмы.