Высота po правильной четырёхугольной пирамиды pabcd равна 4, а стороны основания abcd равны 6. точки m и n – середины отрезков bc и cd . найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду pmnc . ответ: 12 /( 13+sqr(41) ). нужно подробное решение, "лучший ответ" без проблем.

Обозначения: О - центр основания (проекция вершины Р на основание, РО - высота пирамиды), К - середина MN. 

MN = 3√2. 

В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO = 4; OM = 3; поэтому PN = PM = 5;

PK = √(5^2 - (3√2/2)^2) = √(41/2);

Площадь треугольника PMN Spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2;

Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2 = 15/2;

Площадь основания - треугольника CMN равна 3*3/2 = 9/2;

Отсюда объем пирамиды PCMN V = (9/2)*4/3 = 6;

Площадь всей поверхности S = 3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 + √41)/2;

Радиус вписанной сферы r = 3V/S = 3*6/(3(13 + √41)/2) = 12/(13 + √41);

Если не понятно, почему  r = 3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.