Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды- корень 3 см. найдите площадь полной поверхности пирамилы

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Определение: 

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, все боковые грани равнобедренные треугольники,  а вершина проецируется в центр основания.

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. 

Для решения нужно знать сторону основания и апофему ( высоту боковой грани). 

См. рисунок, данный в приложении. 

По условию АН=3 см, МО=√3 см

Центр основания пирамиды является центром вписнной в нее окружности с радиусом ОН. 

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты. 

r=ОН=1/3 АН=1 (см)

⊿ МНО прямоугольный, МH=√(MO² +OH² )=√4

МН=2 (см)

Все углы ∆ АВС=60°

ВС=АС=АВ=АН:sin 60°

BC=3•2:√3=2√3

По формуле площади правильного треугольника S=a²√3):4

S (осн)={(2√3)²•√3}:4=3√3 (см²)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

S (бок)=МН•(АВ+ВС+АС):2

S (бок)=2•3•(2√3):2=6√3 (см²)

S (полн)=3√3+6√3= 9√3≈15,588 см²