Высота цилиндра равна 6 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен 60 градусов. Найти диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

Для решения этой задачи нам понадобятся основные свойства цилиндра и тригонометрия. Давайте пошагово решим задачу.

1. Найдем диагональ осевого сечения цилиндра:
Для этого воспользуемся свойством, согласно которому диагональ осевого сечения цилиндра является образующей основания.

Обозначим диагональ осевого сечения цилиндра через D.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами 6 см и D справедливо равенство:
D^2 = 6^2 + r^2, где r - радиус основания цилиндра.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольного треугольника. Таким образом, имеем:
D = sqrt(6^2 + r^2)

2. Найдем площадь основания цилиндра:
Обозначим площадь основания цилиндра через S.

Площадь основания цилиндра равна площади круга радиусом r. Используя формулу площади круга, получим:
S = π * r^2

Чтобы найти площадь основания цилиндра, нам нужно знать радиус основания.

3. Найдем радиус основания цилиндра:
Для этого воспользуемся свойством, согласно которому радиус основания цилиндра равен половине диаметра основания (обозначим диаметр через d).

Обозначим радиус основания цилиндра через r.

По теореме синусов для прямоугольного треугольника с катетами 6 см и r, а также гипотенузой D с углом 60 градусов, имеем:
sin(60°) = 6/D
D = 6/sin(60°)

Таким образом, радиус основания цилиндра равен половине диаметра D и равен:
r = (1/2) * (6/sin(60°))

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

4. Найдем диагональ осевого сечения цилиндра:
Подставляем полученное значение радиуса основания цилиндра в формулу для диагонали осевого сечения:
D = sqrt(6^2 + r^2)
D = sqrt(6^2 + [(1/2) * (6/sin(60°))]^2)

Вычисляем это выражение.

5. Найдем площадь основания цилиндра:
Подставляем полученное значение радиуса основания цилиндра в формулу для площади основания:
S = π * r^2
S = π * [(1/2) * (6/sin(60°))]^2

Вычисляем это выражение.

Таким образом, мы найдем диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания, используя заданные данные и решение пошагово.