Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9x^2+5y^2=1 две другие совпадают с концами малой его оси.

Для начала, давайте вспомним, что такое фокусы эллипса.

Фокусы эллипса - это точки, от которых сумма расстояний до произвольной точки на эллипсе равна фокусному расстоянию. В нашем случае, эллипс задан уравнением 9x^2 + 5y^2 = 1, поэтому фокусное расстояние равно длине большой оси, которая равна 1/√9 = 1/3.

Также, нам дано, что две вершины четырехугольника лежат в фокусах эллипса, а две другие совпадают с концами малой оси. Пусть эти вершины находятся в точках A и B. Тогда расстояние между фокусами эллипса равно |AB| = 1/3.

Чтобы найти площадь четырехугольника, мы можем разделить его на два треугольника и посчитать их площади, а затем сложить полученные значения.

Первый треугольник ABC:
- Вершина А находится в одном из фокусов эллипса, поэтому координаты точки А могут быть представлены как (a, b), где а^2 + b^2 = 1/9. Поскольку эллипс симметричен относительно осей координат, мы можем выбрать а > 0 и b > 0 без потери общности.
- Вершина В совпадает с одним из концов малой оси эллипса, поэтому координаты точки В могут быть записаны как (0, c), где c - длина полуоси эллипса. В нашем случае, c = 1/√5.
- Третья вершина С - это другой фокус эллипса. Координаты точки С могут быть записаны как (-a, -b).

Теперь мы можем выразить стороны треугольника ABC:
- Сторона AB = |BC| = 1/3.
- Для стороны AC, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости: AC = √[(a - (-a))^2 + (b - (-b))^2] = √[4a^2 + 4b^2] = √[4(a^2 + b^2)] = √[4(1/9)] = 2/3.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника, где S - площадь треугольника, а a и b - длины сторон треугольника:
S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)],
где p = (a + b + c)/2 - полупериметр треугольника.

Подставляем значения сторон треугольника ABC в формулу и вычисляем площадь:
p = (AB + AC + BC)/2 = (1/3 + 2/3 + 1/3)/2 = 2/3,
S = √[(2/3)(2/3 - 1/3)(2/3 - 1/3)(2/3 - 1/3)] = √[(2/3)(1/3)(1/3)(1/3)] = √[2/81] = √2/9.

Следовательно, площадь треугольника ABC равна √2/9.

Теперь перейдем ко второму треугольнику ADC:
- Вершина D совпадает с другим концом малой оси, т.е. точкой (0, -c).
- Стороны AC и AD остаются теми же, что и в треугольнике ABC.

Поэтому площадь треугольника ADC также равна √2/9.

Наконец, чтобы найти площадь всего четырехугольника, мы сложим площади обоих треугольников:
Площадь четырехугольника = Сумма площадей треугольников ABC и ADC = √2/9 + √2/9 = 2√2/9.

Ответ: Площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9x^2 + 5y^2 = 1 и две другие совпадают с концами малой его оси, равна 2√2/9.