Вычисли сторону и площадь равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 10 дм.​

Хорошо, давайте начнем с основных определений и свойств равностороннего треугольника, окружности и ее радиуса.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой, а углы равны 60 градусам.

Окружность - это плоская фигура, состоящая из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра данной окружности.

Радиус окружности - это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности.

Итак, у нас есть равносторонний треугольник, в который вписана окружность. Радиус этой окружности равен 10 дм. Нам нужно найти сторону и площадь этого треугольника.

1. Найдем сторону треугольника:
Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны треугольника через "a".

Рассмотрим один из равносторонних треугольников, образованный радиусом окружности и отрезком, соединяющим центр окружности с одним из вершин треугольника. Этот треугольник - равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла делит основание на две равные части. Так как у нас равносторонний треугольник, то биссектриса будет совпадать с медианой и высотой треугольника. Пусть точка пересечения биссектрисы с основанием равностороннего треугольника обозначена как "M".

Тогда получается, что медиана, биссектриса и высота равностороннего треугольника проходят через точку M. Эта точка находится на расстоянии 1/3 длины медианы или биссектрисы от основания равностороннего треугольника.

Так как радиус окружности - это медиана в равностороннем треугольнике, то можно записать уравнение:
a = 3 * 10 дм

Решая это уравнение, мы получаем:
a = 30 дм

Таким образом, сторона треугольника равна 30 дм.

2. Найдем площадь треугольника:
Площадь равностороннего треугольника можно найти, зная длину его стороны.

Формула для вычисления площади равностороннего треугольника:
S = (a^2 * √3) / 4,
где "a" - длина стороны треугольника.

Подставим значение стороны треугольника, которое мы нашли ранее:
S = (30^2 * √3) / 4

Упростим выражение:
S = (900 * √3) / 4
S = 225 * √3

Получаем, что площадь равностороннего треугольника равна 225 * √3 квадратных дециметров.