Вычисли радиус окружности, описанной около треугольника, если один из его углов равен 45°, а противолежащая ему сторона равна 6 см. (Если в ответе корней нет, то под знаком корня пиши 1.)

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему синусов, которая гласит: "Отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла остается постоянным". В данной задаче известно, что один из углов треугольника равен 45° и противолежащая ему сторона равна 6 см. Нам нужно найти радиус окружности, описанной около этого треугольника. Обозначим сторону противолежащую углу 45° как a (это сторона, равная 6 см), сторону противолежащую другому углу как b и сторону противолежащую третьему углу как c. Используя теорему синусов, получаем следующее соотношение: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) где A, B и C - это соответствующие углы треугольника (в данной задаче мы знаем, что угол A = 45°). В нашем случае, мы ищем радиус окружности, описанной около треугольника. Значит, нам нужно найти величину стороны c. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине стороны треугольника, деленной на синус угла треугольника. Теперь, у нас есть все данные, чтобы вычислить радиус окружности. Рассмотрим треугольник ABC с углом A = 45°, противолежащей стороной a = 6 см и искомым радиусом окружности R. Находим сторону b с использованием теоремы синусов: a/sin(A) = b/sin(B) 6/sin(45°) = b/sin(B) 6/√2 = b/sin(B) sin(B) = √2 * b / 6 Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол B = 180° - A - C. В данной задаче у нас только один из углов (A), поэтому мы можем найти угол C, используя формулу: C = 180° - A - B C = 180° - 45° - B C = 135° - B Теперь мы можем найти сторону c с использованием теоремы синусов, где a/sin(A) = c/sin(C): 6/√2 = c/sin(135° - B) sin(135° - B) = √2 * c / 6 Выразим sin(B) из первой формулы и подставим его во вторую: sin(135° - (6/√2) * sin(B) = √2 * c / 6 sin(135° - (6/√2) * (√2 * b / 6) = √2 * c / 6 sin(135° - b) = c / 6 Теперь найдем угол B, используя обратную функцию sinus (arcsin). Для этого подставим полученное значение sin(135° - b) в уравнение и найдем b: arcsin(sin(135° - b)) = arcsin(c / 6) 135° - b = arcsin(c / 6) b = 135° - arcsin(c / 6) Итак, мы находим b, а затем используем его в первом уравнении: 6/√2 = b/sin(B) 6/√2 = (135° - arcsin(c/6))/sin(B) sin(B) = (√2 * b) / (6 * (135° - arcsin(c/6))) Итак, мы нашли два уравнения: sin(B) = √2 * b / 6 sin(B) = (√2 * b) / (6 * (135° - arcsin(c/6))) Берем эти два уравнения и приравниваем выражения для sin(B), а затем решаем уравнение относительно b: √2 * b / 6 = (√2 * b) / (6 * (135° - arcsin(c/6))) √2 * b / 6 = (√2 * b) / (6 * (135° - c / 6)) Умножаем оба выражения на 6: √2 * b = (√2 * b) / (135° - c / 6) Умножаем оба выражения на (135° - c / 6): √2 * b * (135° - c / 6) = √2 * b Раскрываем скобки: √2 * b * 135° - √2 * c + √2 * c / 6 = √2 * b Упрощаем: √2 * b * 135° + √2 * c * (1 - 1 / 6) = √2 * b √2 * b * 135° + √2 * c * (5 / 6) = √2 * b √2 * b * 135° = √2 * b - √2 * c * (5 / 6) √2 * b * 135° = √2 * b * (1 - √2 * (5 / 6)) 135° = 1 - √2 * (5 / 6) √2 * (5 / 6) = 1 - 135° (5 / 6) = (1 - 135°) / √2 (5 / 6) = (1 - 135°) / (√2) 5 = 6 * (1 - 135°) / (√2) 5 * √2 = 6 * (1 - 135°) √2 * b * 135° = 6 * (1 - 135°) √2 * b * 135° = 6 * (1 - 135°) b * 135° = 6 * (1 - 135°) / √2 b = 6 * (1 - 135°) / (√2 * 135°) b = 6 * (1 - 135°) / (√2 * 135°) Теперь, зная значение b, мы можем найти c, используя теорему синусов: a/sin(A) = c/sin(C) 6/√2 = c/sin(C) c = (6 * sin(C)) / √2 Теперь мы можем найти радиус окружности R, используя формулу для радиуса окружности, описанной вокруг треугольника: R = a / (2 * sin(A)) R = 6 / (2 * sin(45°)) R = 6 / (2 * √2/2) R = 6 / (√2) R = (6 * √2) / 2 R = 3√2 Итак, радиус окружности, описанной около треугольника, равен 3√2.