Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями: y=7x2, y=17√х
(Дробь сократи!)

Привет! Конечно, я помогу тебе решить эту задачу.

Для начала нужно понять, как выглядит фигура, ограниченная этими двумя линиями.

Уравнение y=7x^2 описывает параболу, а уравнение y=17√x описывает половину параболы. Нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых, чтобы понять, как они образуют фигуру.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для y:

7x^2 = 17√x

Перенесем все в одну сторону:

7x^2 - 17√x = 0

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду. Пусть √x = t. Тогда мы получим:

7t^4 - 17t^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

t^2(7t^2 - 17) = 0

Теперь мы видим два решения:

t^2 = 0 или 7t^2 - 17 = 0

Первое уравнение даёт нам t = 0. Подставим это значение обратно в √x:

√x = 0

x = 0

Второе уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Пусть u = t^2:

7u - 17 = 0

u = 17/7

Теперь найдем значение x, подставив значение u обратно:

√x = √(17/7)

x = 17/7

Таким образом, точки пересечения этих двух кривых - (0, 0) и (17/7, 17/7).

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя линиями, нужно найти интеграл от одной кривой до другой. Но прежде чем приступить к интегрированию, нужно убедиться, что кривые не пересекаются в других точках внутри интервала.

Мы уже нашли все точки пересечения, и они находятся на границах нашего интервала (от 0 до 17/7). Это означает, что нет других точек пересечения внутри интервала, поэтому мы можем продолжить с интегрированием.

У нас есть две уравнения: y = 7x^2 и y = 17√x. Чтобы понять, какая из них является верхней границей, нужно проверить, какая из них больше внутри интервала.

Если рассмотреть, например, x = 1, то y = 7*1^2 = 7 и y = 17√1 = 17. Очевидно, что в пределах этого интервала значения y = 17√x больше, поэтому эта функция будет верхней границей.

Теперь мы готовы вычислить площадь этой фигуры.

Она будет равна интегралу от 0 до 17/7 от функции y = 17√x до функции y = 7x^2. Давайте запишем это:

Площадь = ∫[0,17/7] (17√x - 7x^2) dx

Теперь мы можем интегрировать это выражение. Из-за сложного вида функций, мы будем использовать метод замены переменных для упрощения интеграла.

Пусть u = √x, тогда du/dx = 1/(2√x) = 1/(2u). Мы также должны изменить пределы интегрирования, чтобы они соответствовали новой переменной u.

Когда x = 0, u = √0 = 0. Когда x = 17/7, u = √(17/7) = (√17)/(√7).

Теперь мы можем записать новый интеграл:

Площадь = ∫[0,(√17)/(√7)] (17u - 7u^4) (2u) du

= 2∫[0,(√17)/(√7)] (17u^2 - 7u^4) du

= 2[ (17/3)u^3 - (7/5)u^5 ] [0,(√17)/(√7)]

= 2[ (17/3)((√17)/(√7))^3 - (7/5)((√17)/(√7))^5 ]

= 2( (17/3)(√17)^3/((√7)^3) - (7/5)(√17)^5/((√7)^5) )

= 2( (17/3)(17√17)/(7√7) - (7/5)(17^2)/(7^2) )

= 2(289√17/21 - 17/5 )

= 2[(289√17 - 357)/105]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=7x^2 и y=17√x, равна 2[(289√17 - 357)/105].

Надеюсь, ответ был понятен!