Вычисли неизвестную сторону четырёхугольника, если в него вписана окружность.

FG= 7 см;

EH= 11 см;

FE = 9 см;

HG =
см.

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах вписанного четырёхугольника и формуле для вычисления его неизвестной стороны.

Свойства вписанного четырёхугольника:
- Сумма противоположных углов в вписанном четырёхугольнике равна 180 градусов. То есть, угол FHE + угол HEG = 180 градусов, и угол FGE + угол EGF = 180 градусов.

Формула для вычисления неизвестной стороны в вписанном четырёхугольнике:
- Пусть AB, BC, CD, DA - стороны четырёхугольника (по часовой стрелке). Тогда радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник, можно найти по формуле: r = √((s - a)(s - b)(s - c)(s - d)) / s, где r - радиус окружности, a, b, c, d - стороны четырёхугольника, s - полупериметр четырёхугольника (s = (a + b + c + d) / 2).

Итак, у нас есть следующие данные:
- FG = 7 см;
- EH = 11 см;
- FE = 9 см.

Чтобы найти HG, нам понадобится применить свойства вписанного четырёхугольника и использовать формулу для вычисления неизвестной стороны.

Шаг 1: Найдём радиус окружности. Для этого нам нужно найти полупериметр четырёхугольника.

AB = FG + GE = 7 + 9 = 16 см,
BC = EH + HG = 11 + HG см,
CD = FG + FE = 7 + 9 = 16 см,
DA = EH + HE = 11 + 11 = 22 см.

s = (AB + BC + CD + DA) / 2 = (16 + (11 + HG) + 16 + 22) / 2 = (54 + HG) / 2 = 27 + HG / 2.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения радиуса окружности:

r = √((s - AB)(s - BC)(s - CD)(s - DA)) / s
= √((27 + HG / 2 - 16)(27 + HG / 2 - (11 + HG))(27 + HG / 2 - 16)(27 + HG / 2 - 22)) / (27 + HG / 2)
= √((11 + HG / 2)(11 - HG / 2)(11 + HG / 2)(5 + HG / 2)) / (27 + HG / 2)
= √((121 - (HG / 2)^2)(121 + (HG / 2)^2)) / (27 + HG / 2)
= √(121^2 - (HG / 2)^4) / (27 + HG / 2)
= √(14641 - HG^2 / 4) / (27 + HG / 2).

Шаг 2: Используем свойства вписанного четырёхугольника, чтобы выразить радиус окружности через неизвестную сторону HG.

Угол FHE + угол HEG = 180 градусов (сумма противоположных углов).

Рассмотрим треугольник FHE.
FE^2 = FH^2 + HE^2 - 2 * FH * HE * cos(FEH).
9^2 = FH^2 + 11^2 - 2 * FH * 11 * cos(FEH).
81 = FH^2 + 121 - 22 * FH * cos(FEH).

Рассмотрим треугольник EHG.
EH^2 = HG^2 + HE^2 - 2 * HG * HE * cos(EHG).
11^2 = HG^2 + 11^2 - 2 * HG * 11 * cos(EHG).
121 = HG^2 + 121 - 22 * HG * cos(EHG).

Сравним два полученных нами уравнения:
81 = FH^2 - 22 * FH * cos(FEH),
121 = HG^2 - 22 * HG * cos(EHG).

Из этих двух уравнений мы можем заключить, что:
FH^2 - 22 * FH * cos(FEH) = HG^2 - 22 * HG * cos(EHG).

Формула для радиуса окружности:
r = √(14641 - HG^2 / 4) / (27 + HG / 2).

Подставим вместо FH и HG их значения:
FH = 7 - HG (по свойству вписанного четырёхугольника).
HG^2 - 22 * HG * cos(EHG) - 22 * (7 - HG) * cos(FEH) = HG^2 - 22 * HG * cos(EHG).

Теперь давайте выразим cos(EHG) через cos(FEH):
HG * cos(EHG) = 7 * cos(FEH).
HG = (7 * cos(FEH)) / cos(EHG).

Подставим данное выражение для HG в формулу для радиуса окружности:
r = √(14641 - (HG^2 / 4)) / (27 + HG / 2)
= √(14641 - ((7 * cos(FEH))^2 / 4)) / (27 + (7 * cos(FEH)) / (2 * cos(EHG))).

Шаг 3: Подставим полученное выражение второй раз и решим уравнение относительно HG.

r = √(14641 - ((7 * cos(FEH))^2 / 4)) / (27 + (7 * cos(FEH)) / (2 * cos(EHG))).

r^2 = (14641 - ((7 * cos(FEH))^2 / 4)) / (27 + (7 * cos(FEH)) / (2 * cos(EHG)))^2
(27 + (7 * cos(FEH)) / (2 * cos(EHG)))^2 * r^2 = 14641 - ((7 * cos(FEH))^2 / 4)
(27 * (2 * cos(EHG))^2 + 27 * (7 * cos(FEH))^2 + 2 * 7 * cos(FEH) * 27 * (2 * cos(EHG))) * r^2 = 4 * 14641 - 7^2 * (cos(FEH))^2.

Пусть (2 * cos(EHG))^2 = k, (7 * cos(FEH))^2 = m.
Получим новое уравнение:
(27k + 27m + 2 * 7 * cos(FEH) * 27 * (2 * cos(EHG))) * r^2 = 4 * 14641 - 7^2 * (cos(FEH))^2.

Отсюда мы можем выразить r^2 в виде:
r^2 = (4 * 14641 - 7^2 * (cos(FEH))^2) / (27k + 27m + 2 * 7 * cos(FEH) * 27 * (2 * cos(EHG))).

Теперь, чтобы найти HG, подставим это выражение для r^2 в исходную формулу:
r = √((4 * 14641 - 7^2 * (cos(FEH))^2) / (27k + 27m + 2 * 7 * cos(FEH) * 27 * (2 * cos(EHG)))).

HG = (7 * cos(FEH)) / cos(EHG).