Втреугольнике mnk с углом m равным 120 градусов проведены биссектрисы mm1,nn1,kk1. докажите, что треугольник m1n1k1 прямоугольный.

Эту задачу я решал 100 лет назад, и как тогда, так и сейчас, совсем простого решения не нашел.

С разрешения уважаемого автора задачи введу свои обозначения. ΔABC, ∠ABC=120°, биссектрисы AA_1, BB_1, CC_1;
AB=c, BC=a,CA=b; CA_1=m, BA_1=n, CB_1=k

Для решения нам понадобятся следующие факты (подозреваю только, что в начальной школе они не проходятся. Но может быть я отстал от жизни :-))

1. Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам. Более того, эти отрезки несложно выразить через стороны. Так, m=(ab)/(b+c); n=(ac)/(b+c);
k=(ba)/(a+c) (когда-нибудь я научу Вас, как писать эти формулы не только без неприязни, но с улыбкой на устах).

2. Обратный факт: если отрезок, соединяющий вершину с какой-то точкой противоположной стороны, делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, то он является биссектрисой.

3. Длина биссектрисы (скажем BB_1) может быть вычислена по формуле
                            BB_1=(2cos (B/2)ac)/(a+c).

В частности, если угол B равен 120°, эта формула превращается в
BB_1=(ac)/(a+c).

Переходим к непосредственному решению.

AA_1 - биссектриса⇒m/n=b/c

BB_1=(ac)(a+c)

Соединим точки B_1 и A_1. докажем, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C. для этого достаточно доказать, что m/n=k/BB_1.

В самом деле, k/BB_1=((ba)/(a+c))/(ac/(a+c))=b/c.
Но ведь и m/n=b/c! Значит, мы доказали, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C.
Точно так же получается, что B_1C_1 - биссектриса угла BB_1A.

Осталось сослаться на то, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Итак, угол A_1B_1C_1 - прямой.

Замечание. Можно доказательство провести совсем по-другому, и намного быстрее. Но как показывает мой опыт, самостоятельно выйти на второй намного сложнее, чем на первый.

Итак, второй

Продолжим сторону AB за вершину B; поставим где-нибудь там точку D. Угол CBD равен 180°-120°=60°⇒BC является биссектрисой угла DBB_1, то есть внешнего угла треугольника ABB_1. Эта биссектриса пересекается с BC в точке A_1⇒ биссектриса еще одного внешнего угла треугольника ABB_1 - угла BB_1C - проходит через ту же точку A_1. Вот мы и доказали требуемое.

за то, что напомнили про те времена, когда такие задачи были мне в новинку. Надеюсь, что Вы получили удовольствие от обоих доказательств. Искренне Ваш