Втреугольнике klm стороны km=17, lm=13, kl=18. окружность, проходящая через точки k и l, пересекает прямые мк и ml соответственно в точках p и q, отличных от вершин треугольника klm. отрезок pq касается окружности, вписанной в треугольник klm. найдите длину отрезка pq

Сложная формулировка, а решается как раз просто :)
Четырехугольник KPQL одновременно и вписан в окружность, то есть сумма противоположных углов равна 180°, и описан вокруг окружности, что означает, что суммы противоположных сторон равны.
Поэтому угол PKL + угол PQL = 180°; то есть угол PKL = угол PQM; 
Таким образом, треугольники KML и QMP подобны.
Если теперь обозначить KL = c; KM = a; ML = b; то MQ = a*x; MP = b*x; PQ = c*x;
где x - коэффициент подобия.
KP + QL = KL + PQ; 
a - b*x + b - a*x = c + c*x; 
(a + b)*(1 - x) = c*(1 + x); и все дела :)
x = (a + b - c)/(a + b +c);
PQ = c*x;
Если теперь подставить числа, получится x = 1/4; PQ = 9/2;