Втреугольнике abc угол b = 120 градусов, а длина ab= на 7корень из3 меньше полупериметра треугольника. найдите радиус окружности касающейся стороны bc и продолжений сторон ab и ac.

Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .

В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше 
полупериметра треугольника. 
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Сделаем рисунок.

Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная. 

В любом треугольнике

расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.

( Доказательство этой теоремы   при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)

То-есть в данной задаче AЕ = p.
Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Это утверждение вытекает из того, что

по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.

Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,

он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. 
Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=7√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3
R:7√3 = 1/√3
R=7√3 ·1/√3=7