Втрапеции abcd точка m - середина боковой стороны ab. на боковой стороне cd выбрана точка к, такая, что отрезки мс и ак параллельны.
а) докажите, что отрезки md и вк параллельны.
б) прямая md пересекает прямую bc в точке е, а прямая вк пересекает прямую ad в точке f. найдите площадь четырехугольника debf, если площадь треугольника amd равна 7.

а) легко доказывается через построение б), а вот с вычислениями как то не заладилось

Для доказательства а) мы используем свойство треугольника, что прямые, параллельные одной стороне, оказываются параллельными друг другу.

Для начала построим параллельные прямые и отметим точку P на прямой MK:

[Построение: параллельные линии]
1. Проведем прямую, проходящую через точку M и параллельную стороне CD, и обозначим эту прямую как l.
2. Проведем прямую, проходящую через точку K и параллельную стороне AB, и обозначим эту прямую как n.
3. Обозначим точку пересечения прямых l и n как P.

Теперь перейдем к доказательству:

[Доказательство а)]
Для начала рассмотрим треугольники ADM и CBK:
Треугольник ADM имеет две параллельные стороны МС и АК, так как треугольники ABС и ADC - равнобокие, а значит, стороны BM и DM равны сторонам KM и AM соответственно.
Треугольник CBK имеет две параллельные стороны CK и KB, так как треугольник ABC равнобедренный и стороны CB и CA равны сторонам BC и BA соответственно.
Таким образом, треугольники ADM и CBK подобны (по признаку "ребро-смежная сторона-углы").
Из свойств подобных треугольников следует, что соответствующие им стороны пропорциональны.
То есть, мы имеем следующую пропорцию: DM/CK = AM/KB.

Теперь рассмотрим треугольники DMP и CKP:
Так как отрезки МС и АК параллельны, то треугольники DMP и CKP также подобны (по признаку "ребро-смежная сторона-углы").
Из свойств подобных треугольников следует, что соответствующие им стороны пропорциональны.
То есть, мы имеем следующую пропорцию: MP/KP = DM/CK.

Объединим обе пропорции: DM/CK = MP/KP.
Таким образом, отрезки DM и VK также параллельны (по свойству пропорциональности).

[Доказательство б)]
Для нахождения площади четырехугольника DEBF, мы можем разбить его на два треугольника CBE и ADF, и вычесть площадь треугольника AMD:

Пусть x - площадь треугольника CBE и y - площадь треугольника ADF.
Тогда, площадь четырехугольника DEBF равна x + y - 7.

Рассмотрим треугольники CBE и ADF:
1. Треугольник CBE:
- Высота BC проведена из точки B и проходит через точку P.
- Так как треугольники ADM и CBK подобны, то соответствующие высоты DP и MP пропорциональны высотам BC и KP соответственно.
- Пусть высота BC равна h, а высота KP равна a.
- Тогда, высота DP равна (h/a) * MP.
- Так как стороны DP и VK параллельны (доказано в а)), то прямоугольники CBE и VKP подобны.
- Из свойств подобных прямоугольников следует, что отношение площадей равно квадрату отношения сторон VK и KP.
- То есть, площадь CBE равна (VK/KP)^2 * a.

2. Треугольник ADF:
- Высота AD проведена из точки D и проходит через точку P.
- Воспользуемся тем же соотношением, что и для треугольника CBE.
- То есть, площадь ADF равна (MD/DP)^2 * a.

Теперь найдем значения VK и MD.
Заметим, что VK равно CD - CK, а MD равно AM - DP.

Рассмотрим треугольник AMD:
1. Так как точка M является серединой стороны AB, то сторона DM равна стороне MA.
2. Пусть сторона DM = MA = x.
3. Тогда, сторона DM + AM = 2x.
4. По условию задачи, площадь треугольника AMD равна 7, поэтому (1/2) * (2x) * x = 7.
5. Получаем квадратное уравнение: x^2 = 7/2.
6. Решая это уравнение, найдем x = sqrt(7/2) = (sqrt(14))/2.

Теперь выразим значения VK и MD:
VK = CD - CK = CD - (BC - BK) = CD - BC + BK = (CD - BC) + BK = DK + BK.
MD = AM - DP = (BM + MA) - DP = (BM + DP) - DP = BM.

Мы знаем, что треугольники ADM и CBK подобны, и что соответствующие высоты DP и MP пропорциональны высотам BC и KP соответственно.
Тогда, DP/BC = MP/KP, или DP = (BC/MP) * KP.

Подставим значения VK, MD и DP в формулы площадей CBE и ADF:
Площадь CBE = (VK/KP)^2 * a = ((DK + BK)/KP)^2 * a.
Площадь ADF = (MD/DP)^2 * a = (BM/((BC/MP) * KP))^2 * a.

Тогда, площадь четырехугольника DEBF равна:
Площадь DEBF = Площадь CBE + Площадь ADF - 7
= ((DK + BK)/KP)^2 * a + (BM/((BC/MP) * KP))^2 * a - 7.

Таким образом, площадь четырехугольника DEBF равна выражению ((DK + BK)/KP)^2 * a + (BM/((BC/MP) * KP))^2 * a - 7.

Однако, для полного решения необходимо иметь конкретные значения для длин сторон и углов в исходной трапеции abcd. Без этой информации, мы не сможем вычислить численное значение площади четырехугольника.