Всередине выпуклого четырехугольника авсd задана точка м. она симметрично отображена относительно середин т_1, т_2 ,т_3, т_4 сторон четырехугольника. полученные точки м_1, м_2 ,м_3, м_4 соединены так, что образовался выпуклый четырехугольник. доказать, что его площадь не зависит от выбора точки м.
Если соединить все середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм, стороны которого равны половине диагоналей четырехугольника (и параллельны им).
Легко видеть, что, к примеру, отрезок T_1T_2 - средняя линия треугольника MM_1M_2. И точно также - остальные. Поэтому многоугольник M_1M_2M_3M_4 - параллелограмм, стороны которого в два раза больше сторон параллелограмма T_1T_2T_3T_4. То есть равны (и параллельны) диагоналям исходного четырехугольника.
Поскольку этот вывод не зависит от положения точки M, все доказано.
Конечно, само положение этого параллелограмма зависит от положения точки M.