ВСЕ ЗАДАНИЯ И РИСУНКИ В ФОТО
Дано: а || b, с - секущая, ∠1 - ∠2 = 102°.
Найти: все образовавшиеся углы.

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°.
Найти: ∠4.
3. Отрезок АК - биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне С А и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

Добрый день! Давайте разберем по очереди каждое задание:

1. Дано: а || b, с - секущая, ∠1 - ∠2 = 102°.
Найти: все образовавшиеся углы.

Чтобы решить это задание, нам нужно воспользоваться теоремой о внутренних и внешних углах секущей. Эта теорема гласит, что если имеется секущая, то сумма внутренних углов по одну сторону от пересечения равна 180°.

Обозначим углы следующим образом: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4.

У нас уже дано, что ∠1 - ∠2 = 102°. Поскольку секущая а || b, то ∠1 и ∠3 являются внутренними углами секущей, а ∠2 и ∠4 - внешними углами.

Таким образом, у нас есть следующее:
∠1 + ∠2 = 180° (сумма внутренних углов по одну сторону от пересечения равна 180°),
∠1 - ∠2 = 102° (из условия).

Мы можем решить систему уравнений, вычтя одно уравнение из другого:
(∠1 + ∠2) - (∠1 - ∠2) = 180° - 102°,
2∠2 = 78°,
∠2 = 39°.

Теперь мы можем найти ∠1, используя одно из уравнений:
∠1 + 39° = 180°,
∠1 = 180° - 39°,
∠1 = 141°.

Теперь мы можем найти ∠3, используя связь между ∠1 и ∠3:
∠1 + ∠3 = 180°,
141° + ∠3 = 180°,
∠3 = 180° - 141°,
∠3 = 39°.

Наконец, мы можем найти ∠4, используя связь между ∠2 и ∠4:
∠2 + ∠4 = 180°,
39° + ∠4 = 180°,
∠4 = 180° - 39°,
∠4 = 141°.

Таким образом, все образовавшиеся углы равны:
∠1 = 141°,
∠2 = 39°,
∠3 = 39°,
∠4 = 141°.

2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°.
Найти: ∠4.

Чтобы решить это задание, мы можем воспользоваться свойством параллельных прямых и углами.

Поскольку у нас есть параллельные прямые, то мы знаем, что соответствующие углы равны. То есть:
∠1 = ∠2.

Также нам дано, что ∠3 = 140°.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, сумма всех углов ∠1, ∠2 и ∠4 должна быть равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠4 = 180°.

Поскольку ∠1 = ∠2, мы можем записать это уравнение следующим образом:
∠1 + ∠1 + ∠4 = 180°,
2∠1 + ∠4 = 180°.

Теперь мы можем подставить известные значения ∠1 = ∠2 и ∠3 в уравнение:
2∠3 + ∠4 = 180°,
2 * 140° + ∠4 = 180°,
280° + ∠4 = 180°,
∠4 = 180° - 280°,
∠4 = -100°.

Таким образом, ∠4 равен -100°.

3. Отрезок АК - биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

Чтобы решить это задание, нам нужно использовать свойства биссектрисы треугольника.

У нас есть следующие обозначения:
∠CAE = 78°,
∠CAN = ∠EAN = ∠AKN,
∠KAN = ∠KNA.

Если отрезок АК является биссектрисой треугольника САЕ, то мы знаем, что углы ∠CAK и ∠KAE равны.

Итак, у нас есть следующее равенство:
∠CAK = ∠KAE.

Также нам дано, что через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА. Из этого следует, что ∠CAK и ∠KAN должны быть соответственными углами, таким образом, эти углы тоже равны.

Итак, у нас есть следующее равенство:
∠CAK = ∠KAE = ∠KAN.

Теперь, используя связь между ∠CAE и ∠CAK, мы можем записать следующее уравнение:
∠CAE = ∠CAK + ∠KAE,
78° = ∠CAK + ∠KAE.

Также мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, у нас получается следующая система уравнений:
∠CAK + ∠KAE + ∠KAN = 180°,
∠CAK + ∠KAN = 180°.

Мы уже знаем, что ∠CAK = ∠KAE = ∠KAN, поэтому мы можем записать это уравнение следующим образом:
∠CAK + ∠CAK = 180°,
2∠CAK = 180°,
∠CAK = 180° / 2,
∠CAK = 90°.

Теперь мы знаем, что ∠CAK равен 90°. Также мы выразили ∠CAK в терминах ∠KAE и ∠KAN, поэтому мы можем записать еще одно уравнение:
∠KAN + 90° = 180°,
∠KAN = 180° - 90°,
∠KAN = 90°.

Итак, у нас получается, что все углы треугольника AKN равны:
∠CAK = 90°,
∠KAN = 90°,
∠KAE = 90°.

Надеюсь, что с данной подробной разборкой вам теперь понятно, как решать данные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.