Все грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной 15см и острым углом в 45°. Вычислить объём параллелепипеда.

Чтобы вычислить объем параллелепипеда, нам необходимо знать длины его трех измерений: длину, ширину и высоту. Учитывая, что все грани параллелепипеда являются ромбами, и угол между сторонами ромба равен 45°, мы можем представить параллелепипед как два симметричных тетраэдра, грани которых являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Шаг 1: Разобьем параллелепипед на два тетраэдра. Каждый тетраэдр будет иметь высоту h, основанием будет равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами 15см, 15см и 15√2 см.

Шаг 2: Найдем площадь основания каждого тетраэдра. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. Площадь основания каждого тетраэдра будет равна (15 см * 15 см) / 2 = 225 / 2 = 112,5 см².

Шаг 3: Найдем объем каждого тетраэдра. Объем тетраэдра вычисляется по формуле: V = (S * h) / 3, где V - объем, S - площадь основания, h - высота тетраэдра. В нашем случае объем каждого тетраэдра будет равен (112,5 см² * h) / 3.

Шаг 4: Найдем общий объем параллелепипеда. Так как параллелепипед состоит из двух тетраэдров, общий объем будет равен V = 2 * [(112,5 см² * h) / 3].

Теперь у нас остается только найти значение высоты h. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю ромба и одной из его сторон. Этот треугольник — прямоугольный со сторонами 15см, 15см и гипотенузой, равной диагонали ромба. Так как угол между сторонами ромба равен 45°, этот треугольник является равнобедренным. Используя формулу для вычисления диагонали равнобедренного треугольника, мы можем найти значение диагонали, а затем и высоты h.

Шаг 5: Найдем диагональ ромба. Применяем формулу: d = a * √2, где d - диагональ ромба, a - длина стороны. В нашем случае диагональ ромба будет равна 15 см * √2.

Шаг 6: Найдем высоту h прямоугольного треугольника. Используем теорему Пифагора: (15см/√2)^2 + (15см/√2)^2 = h^2. Решаем уравнениe: (15см/√2)^2 * 2 = h^2. Применяем формулу корня: h = √[(15см/√2)^2 * 2].

Шаг 7: Подставляем значение высоты в формулу для нахождения объема каждого тетраэдра и общего объема параллелепипеда: V = 2 * [(112,5 см² * h) / 3].

Окончательный ответ будет числовым значением объема параллелепипеда в сантиметрах кубических.

Надеюсь, эти пошаговые объяснения помогут вам лучше понять, как вычислить объем параллелепипеда, используя знания о гранях и углах ромбов. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!