Вравнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 4 см. найдите высоту трапеции.

ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = CD, т.к. трапеция равнобедренная, AD - общая, ∠BAD = ∠CDA) ⇒
∠CAD = ∠BDA, ⇒ ΔAOD равнобедренный.
ΔAOD подобен ΔСОВ по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠OAD = ∠ОСВ как накрест лежащие) ⇒ ΔСОВ тоже равнобедренный.
Проведем высоту трапеции КН через точку пересечения диагоналей.
Тогда, ОН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного  ΔAOD, а медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
ОН = AD/2
Аналогично, ОК - высота и медиана ΔВОС,
ОК = ВС/2
КН = (AD + BC)/2 = 4 см, т.к. полусумма оснований - это средняя линия.

Стоит запомнить это свойство: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.