Вравнобедренном треугольнике klm (kl=km) точка n — середина стороны kl. прямая, касающаяся описанной около треугольника окружности в точке l, пересекает прямую km в точке p. pk=8. найдите проекцию pn на kl.

Проведем через точку Р прямую PB, параллельную основанию  MLтреугольника KLM. На касательной PL отметим точку А. <KLA=<KML (так как <KML - вписанный и опирается на дугу KL, а <KLA - угол между касательной LA и хордой KL, равный половине дуги KL - свойство).

<PLB=<KLA - вертикальные  => <KML= <PLB.  <PBL= <KLM (соответственные при параллельных ML и РВ),   <KLM = <KML  (углы при основании равнобедренного треугольника) => <PBL=<PLB и треугольник PLB равнобедренный.    =>   PL=PB,   HL=HB=PM/2.

По свойству касательной и секущей PL² =PK*PM = 8(8-a), где а - сторона треугольника KLM.  

NL= a/2 (дано), LH=PM/2 = (8-a)/2.  Проекция PN на КL - это отрезок NH = NL+LH = a/2+(8-a)/2 = 4.

ответ:  4 ед.