Впрямоугольном треугольнике высота и медиана выходящие из прямого угла и относятся соответственно как 40 : 41. найти отношение катетов этого треугольника.

alijonsamara200 alijonsamara200    1   25.05.2019 01:00    2

Ответы
Fusdy Fusdy  20.06.2020 23:50
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу,  делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.  
 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.  
Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1. 
Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82  
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. 
Примем отрезок АН гипотенузы  за х, НВ тогда 82-х  
Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ  
СН²=АН*НВ 
1600=х(82-х) 
х²-82х+1600=0
Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.
 АН, как более короткий отрезок, равен 32, 
НВ=50  
Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .
И отношение их катетов одинаково. 
Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ.  АН:СН=СН:НВ=4:5 
АС:СВ=4/5
------------------------------
Но всегда простое решение - лучше сложного.
Вариант решения:
Основа решения:
 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан. 
Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.
По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.
И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5
--------------
И вариант третий -  если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.


Впрямоугольном треугольнике высота и медиана выходящие из прямого угла и относятся соответственно ка
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия