Впрямоугольнике abce проведена диагональ ac. известно, что угол cab = 2* угол acb. найдите периметр прямоугольника, если ac = 10 см, bc = a см.

Треугольник АВС - прямоугольный, ∠В=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90°
Сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника АВС.
∠А+∠В+∠С=90°
Поскольку по условию задания CAB=2*ACB, значит в треугольнике АВС
∠А=2*∠С, выходит
2*∠С+90°+∠С=180°
3*∠С=90°
∠С=30°.
Значит ∠А=2*∠С=2*30°=60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС дальше:
АС-гипотенуза, АВ и ВС - это катеты
cos ∠А=АВ/АС
sin ∠А=ВС/АС

cos ∠А=cos 60°=1/2=0,5
sin ∠А=sin 60°=√3/2=0,5√3

cos ∠А=АВ/АС
0,5=АВ/АС, отсюда АВ=0,5АС=0,5*10см=5см

sin ∠А=ВС/АС
0,5√3=ВС/АС, отсюда ВС=0,5АС√3=0,5*10√3=5√3 см

У прямоугольника противоположные стороны равны, значит 
АВ=СЕ=5 см
ВС=АЕ=5√3 см

Периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть
Периметр=АВ+ВС+СЕ+АЕ
Периметр=5+ 5√3+ 5+5√3
Периметр=10+10√3
Периметр=10*(1+√3) см

ответ: периметр прямоугольника = 10*(1+√3) см