Вправильну трикутну призму вписано кулю радіус якої 4 см. знайти площу бічної грані призми.

В сечении через центр шара получаем треугольник с вписанным в него кругом.
Центр круга лежит на пересечении биссектрис (для правильного треугольника они же высоты и медианы).
Высота делится центром круга в отношении 1:2, то есть равна 3r = 3*4 = 12 см.
Обозначим сторону треугольника а.
a =H / cos 30° = 12 / (√3/2) = 24 / √3 = 8√3.
Тогда площадь боковой грани S = a*H = (8√3)*2*4 = 64√3 =  110,85 см².