Вправильной усеченной четырехугольной пирамиде площадь верхнего основания равна 50 , а площадь нижнего основания 200. какова поверхность сферы , вписанной в эту пирамиду ?

а=5sqrt(2)

b=10sqrt(2)

a+b=15sqrt(2)

h^2=15^2/2-5^2/2=200/2=100

h=10=D

r=5

S=4Пr^2=100П

Решение и объяснение.

Чтобы ответить на вопрос задачи следует найти радиус сферы.
Он равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение пирамиды, стороны которого параллелльны сторонам оснований пирамиды.
Это сечение - равнобедренная трапеция.
Сделаем рисунок.

Вспомним, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.
Следовательно, сумма апофем ( боковых сторон АВ и СД трапеции АВСД) равна сумме сторон оснований пирамиды ( оснований АД и ВС трапеции)
Основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды - квадраты.

На рисунке 1
Площадь меньшего основания S₁ =50
ВС  равна  всем  сторонам верхнего основания
ВС²=50
ВС=√25*2=5√2
Площадь большего основания
S₂=200
АД равна всем сторонам нижнего основания.
АД²=200
АД=√100*2=10√2

Рассмотрим рисунок 2
АВ+СД= ВС+АД=5√2+10√2=15√2
СД= 15√2:2=7,5√2
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты  ( соответственно радиус вписанной в усеченную пирамиду сферы равен половине высоты пирамиды).
Расстояние НД = полуразности оснований и равно (АД-ВС):2
НД=(10√2-5√2):2=2,5√2
СН²=СД²-НД²=112,5-12,5=100
СН=10
r=10:2=5
Формула площади сферы
S=4πr²
S=4π25=100π