Вправильной треугольной призме угол между диагоналями двух смежных граней,выходящих из одной вершины , равен a. найдите высоту призмы , если сторона ее основания равна a.

Раз призма правильная, значит, в основании равносторонний Δ со стороой =а
Теперь смотрим Δ, у которого одна сторона- это сторона основания =а, а две другие- диагонали боковых граней, выходящих из одной вершины. Эти диагонали равны между собой и =х
По т косинусов a^2 = x^2 + x^2 - 2x·x·Cos a
2x^2 - 2x^2·Cos a = a^2
x^2( 2 - 2Cos a) = a^2
x^2 = a^2 / (2 - 2 Cos a)
Теперь надо увидеть Δ, образованный высотой призмы (боковое ребро), стороной основания = а и диагональю боковой грани.
По т. Пифагора.
H^2 = x^2 - a^2 =a^2/(2 - 2Cosa)  - a^2= (a^2 -2a^2 +2a^2 Cos a)/ (2 -  2Сos a)=
(2 a^2 Cos a - a^2)/( (2 - 2 Сos a)
H = корню квадратному из этой дроби.