Вправильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60 градусов. высота пирамиды равна 4 см. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Плоский угол при вершине пирамиды- это угол при вершине боковой грани, противолежащей стороне при основании пирамиды.
Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны треугольник боковой грани равнобедренный, а учитывая то, что угол при его вершине равен 60°, он ещё и правильный, то есть равносторонний, значит все рёбра пирамиды равны.
Высота пирамиды имеет основание в центре описанной окружности около основания пирамиды.
Пусть сторона основания (ребро пирамиды) равна а, тогда R=a/√3.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, её боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности:
a²=R²+h²,
a²=a²/3+4²,
a²-16=a²/3,
3а²-48=а²,
2а²=48,
а²=24.
Площадь боковой грани: S=a²√3/4=24√3/4=6√3 см².
Площадь боковой поверхности: Sб=3S=18√3 см² - это ответ. 

Так как пирамида правильная то все ее ребра равны между собой, значит высота пирамиды равна корню квадратному из разности квадратов бокового ребра и его проекции. Проекция ребра равна 2/3 высоты основания, а высота основания равна а√3/2, где а -ребро пирамиды  Из этих условий получим
а²-(2/3*а√3/2)²=4²
а²-(а√3/3)²=16
2а²/3=16
а²=24
Площадь равностороннего треугольника равна а²√3/4=6√3
а таких треугольников 3 ,значит 3*6√3=18√3