Вполукруг радиуса r вписан квадрат найдите его площадь

Две вершины вписанного в полукруг квадрата лежат на диаметре, а две других - на полуокружности - как половина вписанного в круг прямоугольника, стороны которого лежат на равном расстоянии от центра окружности  по разные стороны от диаметра. 

Пусть данный квадрат будет АВСD, вершины А и D лежат на диаметре КМ, В и С  - на полуокружности. . 

ВС||KM, ⇒КВСМ -  трапеция , причем равнобедренная ( в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.

Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности. ⇒

КD=(2r+BC):2,  DМ=(2r-ВС):2

∆ КСМ - прямоугольный (угол С опирается на диаметр)

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла,  есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу. 

Примем сторону квадрата равной а. Его площадь будет равна а²

a²= [(2r+a):2]•[(2r-a):2] ⇒

a²=(4r²-a²):4

4a²=4r²-a²

5a²=4r²

a²=4r²/5 - это площадь квадрата.