Востроугольном треугольнике abc угол b равен 60°. докажите, что точки a, c, центр описанной окружности тоеугольника abc и центр вписанной окружности треугольника abc лежат на одной окружности.

Пусть угол A равен 2a, угол С равен 2с, тогда 60+2a+2с = 180 (градусов), то есть a+с = 60 (градусов). Пусть М и O - центр вписанной и описанной окружности соответственно. Точка М лежит на пересечении биссектрис углов треугольника ABC, поэтому угол AМC= 180 - (a+с) = 120 (градусов). Угол AOC - центральный, поэтому он в два раза больше угла B, то есть равен 120 (градусов). Таким образом, углы AМC и AOC равны. Значит, сторона AC видна из точек М и O под одним и тем же углом, равным 120 (градусов).  Следовательно, указанные точки A, C, М и O лежат на одной окружности.