Вокружности проведён диаметр ab, c - произвольная точка окружности, j - центр вписанной в abc окружности. какую линию описывает точка j, когда c пробегает все точки окружности, отличные от a и b? ниже следует ответ человека, который по некоторым причинам смог написать его только в комментариях, прикрепляю для других если с1 - середина дуги ab, не содержащей точку c (еще раз - не содержащей), то центр j "описывает" окружность с центром в c1 и радиусом ac1 2: 24 23.07.2017 ну, если нужно доказательство этого известного факта, то все это потому, что ∠c1aj = ∠c1ja = (∠a + ∠c)/2; ∠a и ∠c углы треугольника abc. в таком виде это равенство сразу видно, если правильно нарисован чертеж. ну, значит, треугольник c1aj равнобедренный, c1a = c1j; это полезная , её результат используется при выводе формулы эйлера для треугольника. то есть это маленький шажочек в сторону теоремы понселе.

Рискну, все-таки, представить решение.
Возьмем произвольную точку С на окружности (O;R).
Треугольник АВС - прямоугольный, так как опирается на диаметр.
Точка J -  центр вписанной в этот треугольник окружности - лежит на пересечении биссектрис углов треугольника АВС.
Проведем прямую СJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
Точка пересечения D - конец диаметра, так как вписанный
<DCB=45° и центральный угол DОВ=90° (при любом положении точки С, исключая точки А и В, так как в этом случае треугольник АВС вырождается).
Заметим, что <AJD=(<A+<C)/2, как внешний угол треугольника ACJ.
Проведем прямую АJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
<BAC1=(1/2)*<A, <DAB=(1/2)*<C (вписанный, опирающийся на одну дугу, что и <DCB). Значит <DAC1=<DAJ=(<A+<C)/2, треугольник DAJ равнобедренный и АD=DJ.  И это, как уже отмечалось, при ПРОИЗВОЛЬНОМ положении точки С на окружности, исключая точки А и В.
Следовательно, точка J описывает дугу окружности радиуса R√2 c центрами в точках D и E ( в зависимости от расположения точки С относительно диаметра АВ).