)вокруг конуса с радиусом основания 10 см, высота 24 см. описаны правильно треугольную пирамиду. найдите площадь боковой грани пирамиды.

Основание пирамиды  - описанный вокруг основания конуса равносторонний треугольник. Центр вписанной в треугольник  окружности лежит в точке пересечения биссектрис.  Для правильного треугольника эта точка является и точкой пересечения медиан и высот. 

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 1/3 его высоты. 

Обозначим основание пирамиды АВС, вершину М ( совпадает с вершиной конуса). 

Высота основания ВН=3r=30

АВ=ВН:sin60°=30:√3/2=60•2/√3=20√3

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды 

S=p•h:2, т.е.  произведение полупериметра на пофему.

По т.Пифагора апофема 

МН=√(МО²+ОН²)=√(576+100)=26

р=0,5•3•20√3 =30√3

S=26•30√3=780√3