Во вписанном четырехугольнике klmn стороны lm и mn равны. окружность z с центром m касается отрезка ln. точка o – центр вписанной окружности треугольника kln. докажите, что прямая, проходящая через o параллельно kl, касается z.

Да очень  красивое задание.
Треугольник  MLN-равнобедренный,откуда ΔMLN=ΔMNL.
Поскольку  4 угольник KLMN-вписан  в окружность,то  углы опирающиеся на равные дуги равны: ΔMLN=ΔMKN=ΔMNL=ΔMKL=a.                                    Откуда KM-биссектриса ΔLKN.
И  наконец самое главное: раз центр  вписанной  окружности  лежит   на точке пересечения его биссектрис,то  очевидно , что центр  вписанной  в треугольник KLN окружности лежит  на биссектрисе KM.                        (Значит  KM проходит  через центр вписанной окружности).
И  вот  мы подобрались  к истинному чуду  этой задачи: проведем  через центр вторую биссектрису  LO.                                                                                  (Центр  лежит  и на биссектрисе ΔNLK соответственно).
Обозначим  разбитые  ей  углы по b. Из суммы  углов треугольника  верно  что :ΔLOK=180-(a+b)  ,также  ΔLOK смежный  угол с ΔLOM.
Значит : ΔLOM=180-(180-(a+b))=a+b,но  вот  еще  одна  неожиданность:
             ΔMLO=ΔMLN+ΔNLO=a+b. Опа ΔMLO=ΔLOM,  то  треугольник           MLO-равнобедренный.  ML=MO.
И вот  второе  чудо этой  задачи:
Проведем перпендикуляр  MT на  LN и перпендикуляр MT1 на  прямую     q ||LK.  ΔT1OM=ΔLKM=a ,как  соответственные углы  при параллельных
прямых q и LK. (Там  не  подписал угол a ,но  суть ясна надеюсь).
И вот  оно: треугольники MT1O и  MTL равны  по  стороне  и двум прилежащим к  ней углам. Действительно: ΔT1OM=ΔMLT=a.
Поскольку у этих  двух треугольников  есть  по равному прямому углу. То  из соображений суммы углов треугольника: ΔT1MO=ΔLMT и равны стороны : ML=MO ,откуда следует вышесказанное  утверждение.
Тогда:  MT=MT1,то  есть  если окружности  Z касается  прямой   LN соответственно в точке  T (Тк радиус перпендикулярен касательной). То  выходит что MT=MT1=R.
А  значит радиус  окружности Z перпендикулярен прямой q . И T1 принадлежит  окружности  Z.  То  есть q-касательная к  окружности Z :)
ЧТД.