Вкубе abcda1b1c1d1 диагональ ac1=2 корня из 3. точки m h и p - середины соответственно рёбер b1c1, c1d1 и dd1. докажите, что плоскости aa1c1 и mhp взаимно перпендикулярны​

Чтобы доказать, что плоскости aa1c1 и mhp взаимно перпендикулярны, нам необходимо использовать свойство перпендикулярности двух плоскостей: если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они взаимно перпендикулярны.

Для начала, давайте разберемся с информацией, данной в условии:

1. Вершины куба: a, b, c, d.
2. Ребра, соответствующие вершинам: ab, bc, cd, da.
3. Диагональ ac1 имеет длину 2 корня из 3.

Теперь разберемся с тем, что такое серединные точки ребер:

1. Точка m - середина ребра b1c1.
2. Точка h - середина ребра c1d1.
3. Точка p - середина ребра dd1.

Теперь пошагово решим задачу:

Шаг 1: Найдем координаты точек m, h и p.
Так как точка m - середина ребра b1c1, то мы можем найти ее координаты, используя формулу середины отрезка:
xm = (xb1 + xc1)/2
ym = (yb1 + yc1)/2
zm = (zb1 + zc1)/2

Аналогично, координаты точек h и p:

xh = (xc1 + xd1)/2
yh = (yc1 + yd1)/2
zh = (zc1 + zd1)/2

xp = (xd + xd1)/2
yp = (yd + yd1)/2
zp = (zd + zd1)/2

Здесь xb1, yb1, zb1, xc1, yc1, zc1, xd1, yd1, zd1 - координаты соответствующих вершин куба.

Шаг 2: Найдем уравнение плоскости aa1c1.
Находим векторы, лежащие на плоскости aa1c1:
1. Вектор aa1 (направляющий вектор от точки a к точке a1):
va1 = (xa1 - xa, ya1 - ya, za1 - za)
2. Вектор ac1 (направляющий вектор от точки a к точке c1):
vc1 = (xc1 - xa, yc1 - ya, zc1 - za)

Найдем нормальный вектор плоскости aa1c1, используя произведение векторов aa1 и ac1:
n = va1 x vc1

В результате получаем нормальный вектор p, состоящий из трех координат (px, py, pz).

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости mhp.
Аналогично Шагу 2, находим векторы, лежащие на плоскости mhp:
1. Вектор mh (направляющий вектор от точки m к точке h):
vmh = (xh - xm, yh - ym, zh - zm)
2. Вектор mp (направляющий вектор от точки m к точке p):
vmp = (xp - xm, yp - ym, zp - zm)

Найдем нормальный вектор плоскости mhp, используя произведение векторов mh и mp:
n' = vmh x vmp

В результате получаем нормальный вектор p', состоящий из трех координат (px', py', pz').

Шаг 4: Проверим, являются ли векторы p и p' перпендикулярными.
Для этого воспользуемся свойством скалярного произведения: если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они перпендикулярны.

Вычислим скалярное произведение векторов p и p':
p * p' = px * px' + py * py' + pz * pz'

Если значение p * p' равно нулю, то плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными.

Шаг 5: Проверим выполнение условия плоскости aa1c1 и mhp.
Для этого возьмем произвольную точку на плоскости aa1c1 и проверим, лежит ли она на плоскости mhp.

Пусть точка x1, y1, z1 лежит на плоскости aa1c1.

Составим уравнение плоскости mhp через точку x1, y1, z1:
p' * (x - xm, y - ym, z - zm) = 0

Подставим значения координат точки x1, y1, z1 и координаты точек xm, ym, zm, полученные на Шаге 1, в уравнение плоскости mhp.
Если полученное равенство выполняется, то точка лежит на плоскости mhp.

Если все пункты Шагов 4 и 5 верны, то плоскости aa1c1 и mhp взаимно перпендикулярны.