Вариант3.

1)Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а другой образует с ней угол 300. Найдите длину гипотенузы, если расстояние от вершины треугольника до плоскости равно 22см.

2)Длина наклонной к плоскости равна12см. Проекция этой наклонной на плоскость вдвое короче самой наклонной. Вычислите угол между наклонной и плоскостью.

3)Дан двугранный угол, градусная мера которого 600. Точка М лежащая в одной из его граней, удалена от другой на 12см. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.

4)Длины перпендикуляров опущенных из точки М на грани двугранного угла равны 30см каждый. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла, если его мера 1200.

5)Двугранный угол равен 600. Из точки М на его ребре в гранях двугранного угла проведены перпендикулярные ребру отрезки МА=16см, МВ=24см. Найдите длину отрезка АВ.

6) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=16см, ВД=20см и СД=12см

Контрольная работа. « Угол между плоскостями».

Вариант 4

1)Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а другой образует с ней угол 600. Найдите длину гипотенузы, если расстояние от вершины треугольника до плоскости равно 10см.

2)Длина наклонной к плоскости АС равна 8см, а перпендикуляр к плоскости равен 8см . Вычислите угол между наклонной и плоскостью.

3)Дан двугранный угол, мера которого 600. Точка М лежащая в одной из его граней, удалена от другой на 24см. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.

4)Длины перпендикуляров опущенных из точки М на грани двугранного угла равны 28см каждый. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла, если его мера 1200.

5)Двугранный угол равен 300. Из точки М на его ребре в гранях двугранного угла проведены перпендикулярные ребру отрезки МС=24см, МВ=36см. Найдите длину отрезка СВ.

6) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АД=24см, ВС=32см и СД=8см

1) Для решения первой задачи, нам необходимо использовать теорему пифагора для прямоугольного треугольника. Пусть длина катета, лежащего в плоскости, равна "а". Тогда длина гипотенузы будет равна "с".
Используя угол 300 градусов, мы можем найти длину другого катета, используя формулу cos(300) = а/с. Здесь "cos(300)" равно -1/2, так как cos(300) = cos(360 - 300) = cos(60) = 1/2. Таким образом, из уравнения -1/2 = а/с, мы можем найти, что а = -с/2.

Теперь, мы знаем, что расстояние от вершины треугольника до плоскости равно 22см. Используя теорему пифагора, получаем уравнение а^2 + с^2 = 22^2. Затем мы можем заменить а на -с/2 в этом уравнении и решить его для с.
Выполнив все вычисления, получаем: c^2 + (c^2/4) = 22^2, что приводит к уравнению: 5c^2/4 = 22^2.
Используя это уравнение, мы найдем, что c^2 = (4 * 22^2) / 5. Вычисляя, получаем значение c = (4 * 22) / sqrt(5).

Таким образом, длина гипотенузы равна (4 * 22) / sqrt(5) см.

2) Во второй задаче дана длина наклонной к плоскости (ВС) и ее проекция на плоскость (АС). Известно, что проекция вдвое короче самой наклонной, то есть АС = 2 * ВС.

Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник АВС, где АВ - наклонная, ВС - перпендикуляр к плоскости, АС - проекция. Из теоремы пифагора для треугольника АВС, получаем уравнение АВ^2 = ВС^2 + АС^2.

Подставляя АС = 2*ВС в это уравнение, получаем:
АВ^2 = ВС^2 + (2*ВС)^2 = ВС^2 + 4*ВС^2 = 5*ВС^2.

Теперь, зная, что длина наклонной к плоскости (ВС) равна 12 см, мы можем решить получившееся уравнение:
12^2 = 5 * ВС^2.

Решая это уравнение, получаем ВС^2 = (12^2) / 5 = 144 / 5.

Таким образом, ВС = sqrt(144 / 5) = sqrt(144) / sqrt(5) = 12 / sqrt(5) см.

Теперь, чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, мы можем использовать формулу sin(θ) = противолежащий/гипотенуза. В данном случае, наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр к плоскости - противолежащим. Значит, sin(θ) = ВС/АВ.

Подставляя значения, получаем sin(θ) = (12/sqrt(5)) / АВ.

Для решения этого уравнения, нам необходимо найти длину АВ. Однако, в условии задачи не указаны достаточные данные для нахождения длины АВ. Таким образом, мы не можем найти угол между наклонной и плоскостью.

3) В третьей задаче дан двугранный угол, мера которого равна 600. Задана точка М, лежащая в одной из его граней, и расстояние от точки М до другой грани угла равно 24 см.

Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный точкой М, ребром двугранного угла и вектором, идущим из точки М перпендикулярно ребру до другой грани угла.

Мы можем использовать теорему пифагора для нахождения расстояния от точки М до ребра двугранного угла. Пусть это расстояние равно "х". Тогда расстояние от точки М до ребра двугранного угла можно представить как √(х^2 + 24^2), где 24 см - расстояние от точки М до другой грани угла.

Таким образом, мы получаем уравнение х^2 + 24^2 = М^2, где М - расстояние от точки М до ребра двугранного угла.

Следовательно, х^2 = М^2 - 24^2.

Мера двугранного угла равна 600, что соответствует углу второго треугольника прямоугольнику. Зная, что сумма углов треугольника равна 180, мы можем найти угол первого треугольника прямоугольника, который равен 600 - 180 = 420 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение cos(420) = противолежащий/гипотенуза, чтобы найти длину "х". Так как в нашем случае противолежащий равен 24 см, получаем cos(420) = 24/х.

Решая это уравнение, находим значение "х".

4) В четвертой задаче дан двугранный угол, мера которого равна 1200. Длины перпендикуляров, опущенных из точки М на грани двугранного угла, равны 28 см каждый.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрическое соотношение sin(θ) = противолежащий/гипотенуза. Здесь противолежащий - это длина перпендикуляра, опущенного из точки М на грани двугранного угла, а гипотенуза - это расстояние от точки М до ребра двугранного угла.

Подставляя значения, получаем sin(θ) = 28/гипотенуза.

Мера двугранного угла равна 1200, что соответствует углу треугольника прямоугольнику. Зная, что сумма углов треугольника равна 180, мы можем найти угол первого треугольника прямоугольника, который равен 1200 - 180 = 1020 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение sin(1020) = 28/гипотенуза, чтобы найти гипотенузу. Решая это уравнение, получаем значение гипотенузы.

5) В пятой задаче дан двугранный угол, мера которого равна 600. Из точки М на его ребре в гранях двугранного угла проведены перпендикулярные ребру отрезки МА=16см, МВ=24см. Нужно найти длину отрезка АВ.

Мы можем использовать теорему пифагора для решения этой задачи. Пусть длина ребра двугранного угла равна "х". Тогда МА^2 = х^2 + 16^2 и МВ^2 = х^2 + 24^2.

Суммируя эти уравнения, получаем МА^2 + МВ^2 = 2х^2 + 16^2 + 24^2.

Используя меру двугранного угла (600) и его связь с углом треугольника прямоугольника (180), мы находим угол прямоугольного треугольника, прилегающего к ребру двугранного угла, который равен 600 - 180 = 420 градусов.

Следовательно, мы можем использовать тригонометрическое соотношение sin(420) = противолежащий/гипотенуза, чтобы найти гипотенузу. Здесь противолежащий - это длина перпендикуляра, опущенного из точки М на ребро двугранного угла, а гипотенуза - это размер ребра двугранного угла.

Подставляя значения, получаем sin(420) = (МА + МВ)/х.

Таким образом, суммируя эти уравнения и решая его, получаем значение размера ребра двугранного угла "х". Используя рассчитанное значение ребра, мы можем вычислить длину отрезка АВ, используя МА^2 + МВ^2 = х^2 + АВ^2.

6) В шестой задаче даны точки А и В, лежащие в двух перпендикулярных плоскостях, пересекающих друг друга прямой. Из этих точек опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Длины АС, ВД и СД равны 16см, 20см и 12см соответственно.

Чтобы найти длину отрезка АВ, мы можем использовать теорему пифагора для треугольников АСМ и ВДМ. П