Вариант 3 1. Найдите углы правильного тридцатишестиугольника.
2. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см.
3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. 5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
Если можно с решением

1. Углы правильного шестиугольника равны 120 градусов.

Решение: Внутренний угол правильного n-угольника равен (n-2)/n * 180 градусов. Для шестиугольника получаем (6-2)/6 * 180 = 4/6 * 180 = 120 градусов.

2. Длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см, равна 18п см (где п – число пи, приближенно равное 3.14).

Решение: Окружность описанная около правильного треугольника проходит через все три вершины треугольника. Длина окружности можно найти по формуле C = 2пR, где C – длина окружности, п – число пи, а R – радиус окружности. В нашем случае радиус окружности равен половине стороны треугольника, то есть 9/2 = 4.5 см. Подставляем значения в формулу: C = 2 * 3.14 * 4.5 = 9 * 3.14 = 28.26 ≈ 28.26 см.

3. Сторона правильного треугольника, описанного около вписанного правильного шестиугольника со стороной 9 см, равна 27 см.

Решение: Радиус описанной около вписанного многоугольника окружности равен половине стороны многоугольника. Так как внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусов, то каждый из трех радиусов окружности, проведенных к вершинам треугольника, составляет с вершиной треугольника 30 градусов. Поэтому одного радиуса можно представить как полусумму других двух радиусов (30+30=60 градусов). Полусумму двух радиусов можно представить как сторону вписанного треугольника. Таким образом, сторона вписанного треугольника равна 2 * 9 * sin(30) = 9 * sin(30) = 9 * 0.5 = 4.5 см. Сторона описанного треугольника равна двойному радиусу описанной окружности, то есть 2 * 4.5 = 9 см.

4. Сторона правильного многоугольника равна 16 см, а количество его сторон равно 24.

Решение: Радиус описанной окружности равен стороне многоугольника, так как радиус описанной окружности является радиусом вписанной в нее окружности и описанный многоугольник является регулярным. Радиус вписанной окружности равен половине стороны многоугольника. Из условия задачи имеем R = 8 см и r = 8 см. Зная, что радиус описанной окружности равен полусумме радиусов описанной и вписанной окружностей, получаем 2R = r + R, 2 * 8 = 8 + R, 16 = 8 + R, R = 16 - 8, R = 8 см. Значит сторона многоугольника равна 2 * R = 2 * 8 = 16 см. Используя формулу внутреннего угла многоугольника, найдем количество углов многоугольника. Угол многоугольника равен (n-2) / n * 180 градусов, где n – количество сторон многоугольника. Подставляем известные значения: 180 = (n-2)/n * 180, упрощаем уравнение: 1 = (n-2)/n, переворачиваем дробь: n/(n-2) = 1, получаем уравнение: n = n-2, 2 = 0. Противоречие! Значит, такий многоугольник существовать не может.

5. Длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, равны 2п см, 7п/12 см и 5п/12 см (где п – число пи, приближенно равное 3.14).

Решение: Внутренний угол треугольника равен 45 + 105 = 150 градусов. Так как углы, смежные с дугой на окружности, суть соответствующие вертикальные или смежные с ними, отсюда получаем, что дуги разделены углами 30×2=60, 75×2=150 и 105×2=210 градусов. Найдем длину окружности по формуле C = 2пr, где С – длина окружности, п – число пи, r – радиус окружности. Длина окружности равна 2 * 3.14 * 5 = 10 * 3.14 = 31.4 см. Теперь найдем длины дуг. Для этого используем пропорцию:
31.4 см -> 360 градусов
2п см -> 60 градусов
x см -> 30 градусов

x = 30 * 2п / 60 = 1п см

Аналогично для второй дуги получаем:

31.4 см -> 360 градусов
7п/12 см -> 150 градусов
y см -> 75 градусов

y = 75 * 7п / 12 / 150 ≈ 0.906п см

Для третьей дуги:

31.4 см -> 360 градусов
5п/12 см -> 210 градусов
z см -> 105 градусов

z = 105 * 5п / 12 / 210 ≈ 0.857п см

Таким образом, длины дуг равны приближенно: 2п см, 0.906п см и 0.857п см.