Вариант 2
1)Найдите длину отрезка AB и координаты его середины, если A(-3; -4)
и В (5; –2).
2)Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке
M (1; -3) и которая проходит через точку B(-2; 5).
3)Найдите координаты вершины М параллелограмма MNKE, если
N (5; 5), K (8; -1), F (6; –2).
4)Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (2; -1) и
C(-3; 15).
5)Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноуда-
лённой от точек М (-1; 2) и N (5; 4).
6)Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = 7x – 2
и проходит через центр окружности х? +y? — 10x – 2y + 20 = 0.​

1) Чтобы найти длину отрезка AB, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат. Формула выглядит следующим образом:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где (x1, y1) - координаты точки A, (x2, y2) - координаты точки B.

В данном случае, (x1, y1) = (-3, -4) и (x2, y2) = (5, -2).

AB = √((5 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2)
= √((5 + 3)^2 + (-2 + 4)^2)
= √(8^2 + 2^2)
= √(64 + 4)
= √68
≈ 8.246.

Таким образом, длина отрезка AB составляет примерно 8.246.

Чтобы найти координаты середины отрезка AB, мы можем использовать формулы для нахождения среднего значения двух чисел. Формулы выглядят следующим образом:

x-координата середины = (x1 + x2) / 2,
y-координата середины = (y1 + y2) / 2.

В данном случае:

x-координата середины = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1,
y-координата середины = (-4 + (-2)) / 2 = -6 / 2 = -3.

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (1, -3).

2) Чтобы составить уравнение окружности с центром в точке M (1, -3) и проходящей через точку B (-2, 5), мы можем использовать формулу окружности. Формула выглядит следующим образом:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данном случае, (h, k) = (1, -3) и точка B (-2, 5) лежит на окружности.

Подставим значения в уравнение:

(-2 - 1)^2 + (5 - (-3))^2 = r^2,
(-3)^2 + (8)^2 = r^2,
9 + 64 = r^2,
73 = r^2.

Таким образом, уравнение окружности будет выглядеть:

(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73.

3) Чтобы найти координаты вершины M параллелограмма MNKE, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны по длине.

В данном случае, мы знаем координаты точек N (5, 5), K (8, -1) и F (6, -2).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то MN и KE имеют одинаковую длину. Мы можем найти координаты вершины M, используя формулу:

x-координата M = x-координата N + x-координата K - x-координата F,
y-координата M = y-координата N + y-координата K - y-координата F.

В данном случае:

x-координата M = 5 + 8 - 6 = 7,
y-координата M = 5 - 1 - (-2) = 6.

Таким образом, координаты вершины M параллелограмма MNKE равны (7, 6).

4) Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки A (2, -1) и C (-3, 15), мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Формула выглядит следующим образом:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1))(x - x1),

где (x1, y1) - координаты первой точки, (x2, y2) - координаты второй точки.

В данном случае, (x1, y1) = (2, -1) и (x2, y2) = (-3, 15).

Подставим значения в уравнение:

y - (-1) = ((15 - (-1)) / (-3 - 2))(x - 2),
y + 1 = (16 / (-5))(x - 2),
y + 1 = (-16/5)(x - 2).

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть:

y = (-16/5)(x - 2) - 1.

5) Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек M (-1, 2) и N (5, 4), мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка. Формула выглядит следующим образом:

x-координата середины = (x1 + x2) / 2,
y-координата середины = (y1 + y2) / 2.

Учитывая, что точка лежит на оси ординат, x-координата будет равна 0.

В данном случае, (x1, y1) = (-1, 2) и (x2, y2) = (5, 4).

Подставим значения в уравнение:

0 = (-1 + 5) / 2,
0 = 4 / 2,
0 = 2.

Таким образом, координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек M (-1, 2) и N (5, 4), равны (0, 2).

6) Чтобы составить уравнение прямой, которая параллельна прямой y = 7x - 2 и проходит через центр окружности x^2 + y^2 - 10x - 2y + 20 = 0, мы можем использовать свойство параллельных прямых, которое гласит, что у них угловые коэффициенты равны.

Первым делом, найдем центр окружности, которая задана уравнением x^2 + y^2 - 10x - 2y + 20 = 0. Для этого приведем уравнение к каноническому виду, завершив квадраты:

(x^2 - 10x) + (y^2 - 2y) = -20,
(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 2y + 1) = -20 + 25 + 1,
(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 6.

Таким образом, центр окружности имеет координаты (5, 1).

Уравнение прямой, проходящей через центр окружности, будет иметь следующий вид:

y - 1 = k(x - 5),

где k - угловой коэффициент прямой.

В уравнении дано, что прямая параллельна прямой у = 7x - 2. Таким образом, угловой коэффициент прямой будет равен 7. Подставим значение в уравнение:

y - 1 = 7(x - 5).

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть:

y = 7x - 34.