Вариант 1 1. Дано: ВО = DO, ZABC = 45°, 2BCD = 55°, 2AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: 2D. Доказать:
ДАВО ДСDO.
2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол В равен 42°. Найти: Два других
угла треугольника ABC.
3. Точки Ви D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники ABC и
ADC
равносторонние. Доказать: АВ || CD.
4. Дано: ZEPM = 90°, ZMEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90).
а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР?
б) Найдите длину медианы
B
D
M
А
с
E
P
Рис. 5.89
Рис. 5.90
PD.

1. Для доказательства DA || DO, нам нужно использовать свойства параллельных линий и равных углов.

Поскольку ZABC = 45°, то ZBCA = 45° (так как треугольник ABC - равнобедренный).
Также угол 2BCD = 55°.
Пользуясь свойством вертикальных углов, мы можем сказать, что угол CAB = 55°.
Таким образом, треугольники ABC и BCD подобны по углам (имеют одинаковые углы).
В равнобедренном треугольнике АВС угол CAB = 55°, поэтому угол BAC = (180° - 55°)/2 = 62.5°.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Угол 2AOC = 100°, значит угол ACO = (180° - 100°)/2 = 40°.
И также угол OAC = (180° - 40°)/2 = 70°.

Таким образом, у нас есть следующая информация:

ZABC = 45°
2BCD = 55°
2AOC = 100°
ZBCA = 45°
CAB = 62.5°
ACO = 40°
OAC = 70°

Теперь рассмотрим треугольник ACO. Угол 2AOC = 100°, поэтому угол ACO = (180° - 100°)/2 = 40°.
И также угол OAC = (180° - 40°)/2 = 70°.

Угол CAB = 62.5°, а угол OAC = 70°. Значит эти два угла не равны друг другу.
Таким образом, мы получаем противоречие, и требуемое доказательство не верно.

2. В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 42°. Поскольку треугольник равнобедренный, то угол A также равен 42°.
Для нахождения третьего угла треугольника ABC, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника.
Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

Итак, у нас уже есть два угла ABC = 42° и BCA = 42°.
Теперь мы можем использовать сумму углов треугольника, чтобы найти третий угол.
Сумма углов ABC, BCA и CAB должна быть равна 180°.
Подставляем значения:
42° + 42° + CAB = 180°
84° + CAB = 180°
CAB = 180° - 84°
CAB = 96°

Таким образом, два других угла треугольника ABC равны 42° и 96°.

3. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник ADC, которые оба равносторонние.
Поскольку треугольники равнысторонние, все стороны равны.
Таким образом, AB = BC = CA и AD = DC = CD.

Мы должны доказать, что AB || CD.
Допустим, AB и CD не параллельны. Тогда существует точка E, такая что AE пересекает CD.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, угол ABC = 60°.
А также угол BAC = (180° - 60°)/2 = 60°.

Также, поскольку треугольник ADC равносторонний, угол ADC = 60°.
А также угол ACD = (180° - 60°)/2 = 60°.

Таким образом, у нас есть следующая информация:

AB || CD
угол ABC = 60°
угол BAC = 60°
угол ADC = 60°
угол ACD = 60°

Опять же, рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 60°, угол BAC = 60°, а угол BCA = 60°.
Сумма этих трех углов должна быть равна 180°.
Подставляем значения:
60° + 60° + 60° = 180°

Таким образом, у нас возникает противоречие, и предположение, что AB не параллельна CD, неверно.
Следовательно, мы можем заключить, что AB || CD.

4.

а) Для нахождения длины отрезка ЕР нам нужно использовать знания о прямоугольных треугольниках и тригонометрии.

Из рисунка 5.90 видим, что ZEPM = 90°.

Зная угол ZEPM, мы можем использовать синус этого угла, чтобы найти длину отрезка EP.
sin(30°) = ME / EP
sin(30°) = 1/2 (поскольку sin(30°) = 0.5)
EP = 2 * ME = 2 * 10 = 20 см

Таким образом, длина отрезка EP заключена между 20 и 21 см.

б) Для нахождения длины медианы BDM нам опять нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрии.

Из рисунка 5.90 видим, что ZEPM = 90°.

Из треугольника BPM с углом EPB = 30°, мы знаем длину отрезка EP = 20 см (по пункту а).
Также, мы знаем угол BME = 90° (по заданию).

Теперь мы можем использовать тангенс угла BME, чтобы найти длину отрезка BM.
tan(90°) = BE / ME
tan(90°) = BM / 10
BM = ME * tan(90°) = 10 * ∞ (так как tang(90°) = ∞)

Таким образом, длина медианы BM равна бесконечность.

Аналогично, для нахождения длины медианы MDA нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрии.

Из треугольника AMD с углом EAD = 30°, мы знаем длину отрезка AD = 10 см.
Также, мы знаем угол MED = 90° (по заданию).

Теперь мы можем использовать тангенс угла MED, чтобы найти длину отрезка DM.
tan(90°) = DE / ME
tan(90°) = DM / 10
DM = ME * tan(90°) = 10 * ∞ (так как tan(90°) = ∞)

Таким образом, длина медианы DM также равна бесконечности.

Надеюсь, что эти подробные ответы объяснили и помогли понять решение каждого вопроса. Если есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне.