В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M и K — середины сторон AB и CD соответственно. Известно, что AB = 5, BC = 2,

CD = 7 Найдите AD, если AK = CM.​

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство, что в параллелограмме (а выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом) середины сторон соединяются отрезком, который равен половине диагонали.

1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M и K - середины сторон AB и CD соответственно. Это значит, что AM = MB и CK = KD.

2. Известно, что AK = CM. Так как AK = AM + MK, а CM = CK + MK, то AM + MK = CK + MK. Так как MK есть на обеих сторонах, мы можем отбросить его: AM = CK.

3. Теперь мы можем использовать свойство о параллелограмме: точка M — середина стороны AB, поэтому MD (диагональ) делит его на два равных отрезка: MD = MB. Аналогично, точка K — середина стороны CD, поэтому AK (диагональ) делит его на два равных отрезка: AK = CK.

4. Так как AM = CK и AK = CK, то АМ = АК, а значит, AMKD является прямоугольником.

5. Так как AMKD — прямоугольник, то его диагонали пересекаются под прямым углом. Но мы уже знаем, что AK = CK, поэтому прямой угол будет располагаться между диагоналями AK и CK.

6. Определим, как связаны стороны четырёхугольника ABCD: AB || CD (они параллельны), так как противоположные стороны параллелограмма параллельны.

7. В ЭТОМ МЕСТЕ можно объяснить, что свойство параллелограмма позволяет нам сделать вывод о равенстве углов: ∠ABC = ∠CDA и ∠BCA = ∠DAB.

8. Вернемся к прямоугольнику AMKD. Так как AD — его диагональ, а MD — его сторона, то угол MDA будет прямым.

9. Мы знаем, что ∠ADM = 90 градусов, поскольку это угол прямоугольника AMKD.

10. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADM: AD^2 = AM^2 + MD^2. Но, так как AM = MD (свойство прямоугольника), то можем заменить AM на MD: AD^2 = MD^2 + MD^2.

11. Подставим известные значения: AB = 5 и BC = 2, а также CK = BC + KD = 2 + 7 = 9. Отметим, что AD = CK, так как середины сторон соединены отрезком, равным половине диагонали.

12. По формуле: AD^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162. Чтобы найти AD, возьмем квадратный корень из обеих сторон: AD = √162.

13. Найдем значение AD. Решим это путем разложения переменной под знак корня на простые множители: AD = √(2 * 3^4).

14. Упростим: AD = 3 * √2.

Таким образом, AD равно 3 * √2.